Matematyka.pl

Premislav , a co z przypadkiem szeregu harmonicznego? Ciąg \frac{1}{n} jest oczywiście o wyrazach dodatnich, \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 i \lim_{n \to \infty } \left( \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}\right)^n = \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n+1}{n}\right)^n = e . A szereg \sum_{n=1}^{...

Niech p_n oznacza n 'tą liczbę pierwszą. Czyli: p_1 = 2, \;\; p_2 = 3, \;\; p_3 = 5, \;\; p_4 = 7, \dots Obliczyć: \lim_{n \to \infty } \frac{p_{n+1}}{p_n}. Ograniczenie z dołu przez 1 jest oczywiste. Ograniczenie z góry do jakiego można łatwo dojść, to 2 i wynika ona bezpośrednio z zastosowania pos...

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{a_n}{a_{n+1}}\right)^n = e}\), \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n = 0}\) i \(\displaystyle{ a_n > 0.}\)

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = + \infty.}\)

Poradzi ktoś coś, żeby ruszyć z miejsca? Bardzo proszę.

Co tu oznacza \(\displaystyle{ a_n}\)?

Dziena chłopaki.

Czy granicą będzie \(\displaystyle{ e}\)?

Zahion, gdzie mogę znaleźć dowód tej własności:

Zahion pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = g}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 < g < \infty}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_{n}} = g.}\)

?

Dlatego właśnie usiłuję coś z silnią, ale to zawsze do nieskończoności lub do zera, bo ta silnia się skraca ale zostaje \(\displaystyle{ (n+1)}\).

Dlatego podejrzewam, że nie z silnią, ale jak nie, to nie wiem co zrobić, żeby Twoja wskazówka była przydatna.

próbowałem \(\displaystyle{ n!}\), próbowałem \(\displaystyle{ \frac{n}{ n!}}\)...

Zahion, niestety ze wskazówki nie umiem nic konkretnego wyciągnąć, jak coś próbuje to granica albo zero albo nieskończoność.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n}{ \sqrt[n]{n!} }}\)

Moje pomysły skończyły się na tym, że: może reguła H. Potem uznałem, że ciągi to jednak średnio różniczkowalne...

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( n \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{n}\right) \right)}\)

Myślałem nad twierdzeniem o trzech ciągach, ale nie mogę wpaść na właściwe ograniczenia. Wolfram wyliczył, że jest równa jeden.

a4karo, a czy to nie dowodzi raczej, że \(\displaystyle{ e^t \ge et}\)?
Mącąc trochę w dziedzinie?

Nie, że się czepiam, absolutnie - chcę tylko się upewnić czy dobrze rozumuję.

Premislav, dziękuję. A mógłbyś jeszcze podpowiedzieć jak udowodnić tą drugą własność? Jestem ciekawy tej metody z \(\displaystyle{ \left( 1+\frac x n\right)^n}\).

\(\displaystyle{ e^t > et}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in (1, 2]}\)

Wydaje się oczywiste, ale jak przyszło do wykazania to jest problem.

Mam taki dziwny problem. Zacząłem potrzebować wektorów, przeżyłem algebrę liniową "nie czując" wektorów, ale teraz chyba nie przejdzie. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, najlepiej tak jak przedszkolakowi, co to wektor, po co nam to i z czym to się w ogóle je? Próbowałem zrozumieć z tego co jest ...