Matematyka.pl

Premislav, \(\displaystyle{ x> x’-10\implies x\ge x’-9}\).
Co do geometrii: jest prosta. Wystarczy liczyć kąty pamiętając o symetrii X i C + kąt między styczną i cięciwą

Poczyńmy następujące założenia. Osoba \(\displaystyle{ X}\) spoza komitetu zadaniowego udowodniła twierdzenie, które uważa za nieopublikowane i nadające się do umieszczenia na OM lub wyżej. Czy osoba \(\displaystyle{ X}\) może zgłosić organizatorom OM to zadanie? Jeśli tak, jakim kanałem. Wiem, że na OMJ biorą pocztę tradycyjną.

Próg 16 wg strony OM. Wiedziałem, że zadanka dowalone.

arku1357, ja przyjąłem jednakową monotoniczność na całej dziedzinie, a Ty przedziałami. Inaczej rozumiemy założenie zadania

Jeśli jest stała, to f(x)\equiv 1 albo f(x)\equiv 0 . Jeśli jest rosnąca lub malejąca i istnieje x\in \RR takie, że f(x)\neq -f(x) , to f(f(x))\neq f(-f(x)) . Sprzeczność dowodzi, że zawsze f(x)=-f(x) , czyli w rozważanym przypadku teoretycznie jest stale równa 0 , ale to sprzeczność z założeniem &...

Całkiem ładny zestawik. Myślę, że próg będzie bliżej 18 niż 24, ale tylko dwa zadania na pewno nie starczą. Ostatnio się jakoś młodzież podciągnęła w porównaniu z 68. OM

18-24
Na pewno nie będzie aż tyle osób, które mają 30 punktów co w zeszłym roku. Geometria z pierwszego dnia kosiła.

Ładne rozwiązanie całkiem, nie próbowałem tą drogą. Możesz wrzucać nową. Ciekawe jest, że z symetrycznej nierówności dostałeś cykliczną niesymetryczną. Ja sugeruję to zrobić następująco AM-GM potem GM-HM \frac{a+b+2c}{4}\ge\sqrt{c}\cdot\sqrt[4]{ab}\ge\sqrt{2\cdot\frac{abc}{a+b}} Bardzo podobał mi si...

Powiem tylko, że to nie była nierówność na "rozgrzewkę OM" tylko na coś większego kalibru. Gdzie nie ma 3 darmowych zadań pod rząd jednego dnia. Niech \{a,b,c,d\}=\{x,y,z,t\} , gdzie x\geq y\geq z\geq t . Nierówność między ciągami jednomonotonicznymi i Jensen \sum_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+3}}...

W podobnym klimacie: dla \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \RR_+}\) spełniających \(\displaystyle{ a+b+c+d=9}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a}{b+3}}+\sqrt{\frac{b}{c+3}}+\sqrt{\frac{c}{d+3}}+\sqrt{\frac{d}{a+3}}\leq5\sqrt{\frac{2}{7}}.}\)

Zapiszmy c=a+z,d=a+z+x gdzie x,z\ge 0 f(x)=\sqrt{\frac{a+z}{2a+2z+x}}+\sqrt{\frac{a+z+x}{2a+z+x}} f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{(a+z+x)(2a+2z+x)^3}}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{a+z}{(2a+2z+x)^3}} f'(x)\le 0\iff x^4+x^3[(a+z)(7a+4z)-a^2]+x^2(a+z)[3(2a+z)(3a+2z)-6a^2]+(a+z)x[(2a+z)^2(5a+4z)-12(a+z)a^2]+(a+z)...

Jest OK, czas na Ciebie.

Niech \(\displaystyle{ x,y,z \ge 1}\) będą liczbami rzeczywistymi spełniającymi \[ \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{y^2-1} + \frac{1}{z^2-1} = 1. \] Wykaż \[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} \le 1. \]

Chcesz wrzucić nową, czy dalej moja kolej?
To zadanie to Putnam 1977 B5 (z 6 zadań) więc było ocenione na bardzo trudne przez organizatorów. Technicznie wymagające nie jest, ale znaleźć właściwą drogę już niełatwo.