Matematyka.pl

Odcinek \(\displaystyle{ EF}\) jest średnicą okręgu \(\displaystyle{ o}\), a cięciwa \(\displaystyle{ AB}\) jest prostopadła do tej średnicy. Punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do krótszego łuku \(\displaystyle{ AF}\) okręgu \(\displaystyle{ o}\). Proste \(\displaystyle{ PE}\) i \(\displaystyle{ PF}\) przecinają prostą \(\displaystyle{ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{RA}{RB} = \frac{QA}{QB}}\)

Dane są trzy okręgi, w tym dwa styczne. Skonstruować okrąg styczny do tych trzech okręgów.

Dane są trzy odcinki o długości odpowiednio \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\). Skonstruować taki trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), aby \(\displaystyle{ AB = c}\), \(\displaystyle{ AC = b}\) oraz by długość dwusiecznej \(\displaystyle{ AD}\) była równa \(\displaystyle{ d}\).

Ok, zrobiłem wynik jest: \(\displaystyle{ \sqrt{p^2 + q^2}}\)

Widzę te podobieństwa, ale nie mam pomysłu co dalej.

Wysokość trójkąta prostokątnego, \(\displaystyle{ ABC}\) prowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli ten trójkąt na trójkąty o obwodach \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Obliczyć obwód trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na zewnątrz okręgu \(\displaystyle{ o}\). Rożne proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ P}\) są styczne do okręgu \(\displaystyle{ o}\) w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\). Prosta \(\displaystyle{ m}\), przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ P}\), przecina okrąg \(\displaystyle{ o}\) w punktach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ AB \cdot CD = BC \cdot DA}\)

Czyli mamy nierówność:
\(\displaystyle{ (m-2) ^{2}-4m(m-3) \ge 0}\)
Otrzymuję, że \(\displaystyle{ -3m^2 +8m + 4\ge0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}}\)
Dalej mamy, że \(\displaystyle{ m_{1} = \frac{8 - 4\sqrt{7}}{-6}, m_{2} = \frac{8 + 4\sqrt{7}}{-6}}\)
stąd otrzymuje, że \(\displaystyle{ m \in (m_{2}, m_{1}) \setminus \left\{ 0\right\}}\).
Tak?

Próbowałem, ale nie do końca wiem co zrobić poza tym, że \(\displaystyle{ f(m) = \frac{m-3}{m}}\)

Dane jest równanie kwadratowe mx^2 - (m - 2)x + m - 3 = 0 . a) określ dziedzinę i wzór funkcji f(m) = x_{1}x_{2} , gdzie x_{1},x_{2} są rozwiązaniami danego równania. b) podaj wszystkie wartości parametru m , dla których równanie ma dwa rozwiązania i albo oba są w przedziale (-\infty, m) , albo oba ...

Wykaż, że dla żadnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) liczba \(\displaystyle{ \frac{x^2 - ab}{2x-a-b}}\) nie leży między liczbami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Zrobiłem, dzięki.

Jednym z pierwiastków równania \(\displaystyle{ $x^2 + bx + c = 0$}\), w którym \(\displaystyle{ $b$}\) i \(\displaystyle{ $c$}\) są liczbami wymiernymi, jest liczba \(\displaystyle{ $1 + \sqrt{3} $}\). Oblicz \(\displaystyle{ $b$}\) i \(\displaystyle{ $c$}\)