Matematyka.pl

Podstawową metodą dowodzenia twierdzeń jest wyjście od założenia i wykazanie tezy, czy można zrobić to "od końca"? To znaczy wyjść od tezy i sprowadzić ją do założenia/równania tożsamościowego? Tylko i wyłącznie wtedy, gdy wszystkie przejścia są równoważne (co należy koniecznie uzasadnić)...

O generatorze (zbiorze generującym) mówi się w różnych kontekstach (np. grupy, pierścienia, algebry, ideału, modułu itp.) ale czy jest rozwinięta jakaś "ogólna teoria generatorów", która by postulowała "ogólne własności" pod które podpadałyby generatory różnych tworów/struktur? T...

Czy są jakieś metody optymalizacji dowodu syntaktycznego ze względu na liczbę formuł ciągu dowodowego jak również złożoność formuł występujących w dowodzie (najkrótszy dowód oraz dowód którego formuły nie przekraczają najmniejszej możliwej złożoności; w każdym z przypadków przy danym układzie aksjom...

<r>Aksjomaty logiczne - właściwe podstawienia tautologij rachunku predykatów oraz aksjomaty charakteryzujące równość:<br/> <br/> <LATEX><s>[latex]</s>Ax_1 \ p\Rightarrow(q\Rightarrow p) \\<br/> Ax_2 \ (p\Rightarrow(q\Rightarrow r))\Rightarrow((p\Rightarrow q)\Rightarrow (p\Rightarrow r)) \\<br/> Ax_...

Tak, masz oczywiście rację, a co do mojego "dowodu" to omyłkowo użyłem niewłaściwego spójnika, co było dalej mechanicznie powielane. Nie umiem tego wywieść z samego aksjomatu regularności.

A z ciekawości: dlaczego myślisz, że aksjomat regularności wystarczy? Ponieważ jestem w stanie wywnioskować syntaktycznie obie formuły z samego tylko aksjomatu regularności \forall x ((\exists z \ (z \in x))\Rightarrow (\exists u(u\in x \wedge (\neg(\exists z (z \in x \wedge z \in u) )) )) ) , posł...

Dlaczego nie wystarczy?

Formuły x \notin x, x \in y \Rightarrow y \notin x języka teorii mnogości są twierdzeniami teorii mnogości jednakże wszystkie znane mi dowody tych twierdzeń opierają się na aksjomacie regularności i aksjomacie pary w taki sposób, że w ramach zredukowania postawionej kontrfaktycznej hipotezy do absur...

Możliwe, że się wyraziłem niezręcznie, napisałem skrótowo. Pisząc "możliwe" a propos x \notin X , nie chodziło mi o to, że takie x istnieje w X , gdy X=\emptyset albo że kwantyfikator przebiega elementy innych zbiorów niż \emptyset tylko o to, że w przypadku, gdy X=\emptyset wyrażenie prze...

Jeśli uznajesz (\forall x) za kwantyfikator nieograniczony, to masz trochę racji, ale Twoja poprawka w niczym nie pomaga - patrz uwaga a4karo . Ja jednak uznałbym, że kwantyfikatory bez podanego zakresu domyślnie przebiegają zbiór X , a wtedy problemu nie ma ani z oryginalną, ani z poprawioną wersj...

Oba warunki poprawnie charakteryzują otwarte podzbiory przestrzeni metrycznej (X, d) i nie widzę, na czym miałaby polegać wyższość Twojej poprawki nad oryginałem, skoro różni się ona tylko dokładniejszym rozpisaniem warunku B(x, r) \subseteq U . podczas gdy nie zawsze taki x musi istnieć. Jaki x ni...

Czasem, a może nawet często można znaleźć następującą "definicję" zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej: (X,d) - przestrzeń metryczna ( X - zbiór, d - metryka na X ) U \ \mbox{jest otwarty w } (X,d) \Leftrightarrow U \subset X \wedge \forall x ( x \in U \Rightarrow \exists r \in \mathb...

Jak wobec tego określa Pan kryterium na bycie twierdzeniem? Semantycznie. Ale to nie jest jednoznaczne jeśli abstrahujemy od konkretnego systemu. Chodzi mi o to, czy w tym ujęciu zabiega Pan o to, by ten schemat był prawdziwy we wszystkich dziedzinach (po odpowiednim podstawieniu) i nie zważa Pan n...

Jan Kraszewski pisze: ↑1 mar 2020, o 13:19

iksinski pisze: ↑1 mar 2020, o 13:03Jak już się czegoś dowodzi to w jakimś systemie Gentzena, Słupeckiego, Hilberta itp.

Niekoniecznie. To nie musi być dowód syntaktyczny.

Jak wobec tego określa Pan kryterium na bycie twierdzeniem?

Załóżmy, że mamy jedynie aksjomaty (specyficzne) ekstensjonalności, zbioru pustego, pary i wyróżniania. Wówczas możemy rozszerzyć język o (rozumiane standardowo) \emptyset oraz \bigcap stosowane do zbiorów niepustych, gdyż mamy istnienie i jednoznaczność odpowiednich desygnatów. W systemie tym mamy:...