Matematyka.pl

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\) o sumie równej jeden, spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ p_{1} \cdot \log \frac{1}{p_{1} } + p_{2} \cdot \log \frac{1}{p_{2}} \le \log 2}\)

Dane jest równanie \(\displaystyle{ (1+x+ x^{2}) ^{2} = \frac{a+1}{a-1} \cdot (1 + x^{2} + x^{4})}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) - parametr rzeczywisty. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) równanie ma rozwiązania? Wyznaczyć te rozwiązania

Znaleźć wszystkie pary liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (x,y)}\), które spełniają równanie:
\(\displaystyle{ \tg ^{4}x + \tg ^{4}y + 2 \cdot \ctg ^{2}x \cdot \ctg ^{2}y = 3 + \sin ^{2}(x+y)}\)

Z góry dziękuję za pomoc

Dziesięcioro uczniów, wśród których są Piotr i Zosia, ustawia się w kolejce do kasy w sposób losowy Obliczyć i podać wzór ogólny na prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ p_{k}}\) , że pomiędzy Piotrem i Zosią stoi w kolejce dokładnie \(\displaystyle{ k}\) uczniów, \(\displaystyle{ k= 1, 2, ... 8}\)

W grupie jest parzyście wiele osób, każda osoba ma w niej parzystą liczbę znajomych (co więcej jeśli A zna B to B zna A i żadna osoba nie zna samej siebie). Pokaż, że istnieje para osób mająca parzystą liczbę wspólnych znajomych.

W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\)punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego, punkt \(\displaystyle{ M}\) środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\), punkt \(\displaystyle{ D}\) spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\), zaś punkt \(\displaystyle{ P}\) jest rzutem punktu wierzchołka \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ AO}\).
Wyka, że \(\displaystyle{ PM=PD}\).

Dziękuję bardzo za pomoc!

Ale jak wtedy mogę pozbyć się \(\displaystyle{ x ^{2}}\) z licznika?

Mam problem z policzeniem takich dwóch całek (obie znajdują się w temacie całkowania przez podstawianie):
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x ^{2} }{ \sqrt{2-x} } \mbox{d}x \\
\int_{}^{} \frac{x ^{2} }{ 1+x } \mbox{d}x}\)
Z góry dziękuję za pomoc!

Czy z faktu, że \(\displaystyle{ n^{2} | a^{n} - b^{n}}\) wynika, że \(\displaystyle{ n| a-b}\) ?

Udowodnij, że istnieje potęga siódemki kończąca się na 001

Udowodnij, że jeśli:
\(\displaystyle{ 9| a^{2} + ab + b^{2}}\)
to \(\displaystyle{ 3|a}\) i \(\displaystyle{ 3|b}\)

Wyznacz wszystkie pary liczb \(\displaystyle{ (a,b)}\) dodatnich liczb całkowitych, które spełniają równanie:
\(\displaystyle{ ab= (a-b)^{3}}\)

Udowodnij, że nie istnieje dodatnia liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\), dla której liczba
\(\displaystyle{ n ^{2} +3n +1}\)
jest kwadratem liczby całkowitej

Dla \(\displaystyle{ n}\) naturalnego dodatniego znaleźć minimum sumy:
\(\displaystyle{ x_{1} + \frac{ {x} _{2} ^{2} }{2} + \frac{ {x} _{3} ^{3} }{3} + ... + \frac{ {x} _{n} ^{n} }{n}}\)

gdzie \(\displaystyle{ x_{i} > 0}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{ x_{1} } + \frac{1}{ x_{2} } + \frac{1}{ x_{3} } + ... + \frac{1}{ x_{n} } = n}\)