Matematyka.pl

Dobry wieczór,
znalazłem w książce "Matematyka Konkretna" tożsamość \(\displaystyle{ s _{1}\left( n+1, m+1\right) = \sum_{k}s _{1}\left( n,k\right) \cdot {k \choose m}}\). Czy mógłby ktoś pomóc mi jakoś to udowodnić?

Co do dowodu, nie wystarczy podać przykładu, że skoro F(\{1\}) = \mathbb{N} \setminus \{1\} oraz F(\{2\}) = \mathbb{N} \setminus \{2\} , przy czym odpowiedznie podzbiory przeciwdziedziny są rozłączne, a przeciwobrazy nie są rozłączne to dowodzi, że taka funkcja nie jest w zbiorze wartości \varphi za...

Oczywiście coś mi się tam nie dopisało, chodziło mi, że \(\displaystyle{ F(A) = \mathbb{N} \setminus A}\). Zamiast setminus użyłem - przepraszam.
Mam jeszcze takie pytanie, czy każda funkcja która należy do zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\) jest różnowartościowa?

Czy taka funkcja, że \(\displaystyle{ F(A) = \mathbb{N}\A}\), czyli że każdy zbiór przechodzi na swoje dopełnienie działa? Wydaje mi się, że tak.

OK, ma Pan rację, bardzo dziękuję! Jeśli chodzi o "na" to jakoś nie mogę sobie zwizualizować tej funkcji i cieżko mi znaleźć kontrprzykład. No bo chcemy znaleźć jakieś g \in P(\mathbb{N})^{P(\mathbb{N})} takie, że \varphi^{-1}(g) \notin \mathbb{N}^{\mathbb{N}} . Ale mam problem z tym potęg...

Pokażę jak myślę, że chce udowodnić, że JEST 1-1: Weźmy f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} oraz g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} . Niech f \neq g , ale niech f^{-1}(A) = g^{-1}(A) dla A \subseteq \mathbb{N} . Rozpiszmy ostatnią równość: \{ x \in \mathbb{N}: f(x) \in A \} = \{ x \in \mathbb{N}:...

Dzień dobry! Mam funkcję zdefiniowaną następująco: Niech \varphi : (\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}) \rightarrow (P(\mathbb{N}) \rightarrow P(\mathbb{N})) będzie określona tak: \varphi(f)(A) = f^{-1}(A) . Moje pytanie brzmi: jak się zabrać za sprawdzanie różnowartościowości, czy jest "na"?

Rzeczywiście, dzięki temu rzeczywiście nie będzie zbieżny. Dziękuję!
P.S. Źródło zadania to podręcznik Wstęp do teorii prawdopodobieństwa autorstwa J.Jakubowskiego i R. Sztencla

Robię to tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \left( n+1 \right) \ln \left( n+1 \right) } \cdot \left( n+1 \right) +\frac{1}{2 \left( n+1 \right) \ln \left( n+1 \right) } \cdot \left( - \left( n+1 \right) \right) +0 \cdot \left( 1-\frac{1}{2 \left( n+1 \right) \ln \left( n+1 \right) } \right) =0}\)

Zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ \mathcal{D} ^{2}X=\mathcal{E}(X^{2})-(\mathcal{E}X)^{2}}\), przy czym ta druga wartość wynosi 0, a pierwsza, po podniesieniu do kwadratu obie zmienne wyrażają to samo, więc \(\displaystyle{ 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{2(n+1)\ln(n+1)}}\), co po skróceniu dało mi \(\displaystyle{ \frac{1}{\ln(n+1)}}\)

No właśnie, to skoro ten jest zbieżny, to \(\displaystyle{ X_{n}}\) powinien spełniać MPWL, a polecenie brzmi: uwodnij, że NIE spełnia. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

Niech X _{n} będą niezależnymi zmiennymi losowymi, dla ktrórych P(X _{n}=n+1)=P(X _{n} = -(n+1))= \frac{1}{2(n+1)\ln(n+1)} P(X _{n}=0)=1- \frac{1}{(n+1)\ln(n+1)} . Udowodnić, że X _{n} nie spełnia MPWL. Gdy policzyłem wariancję, wyszła mi \frac{1}{\ln(n+1)} . Z twierdzenia Kołmogorowa, aby pokazać, ...

Ile średnio rodzynków powinno zawierać ciastko, żeby z prawdopodobieńśtwem \(\displaystyle{ 0,99}\) dane ciastko zawierało przynajmniej jeden rodzynek?
Jest to zadanie na twierdzenie Poissona, ale nie wiem jak je zrobić. Znam jedynie odpowiedź: \(\displaystyle{ \log100}\).

Dzień dobry, Mam zadane pewne odwzorowanie w następujący sposób: t \mapsto \left[ \begin{array}{cc} 2t-4t^{3}\\ t^{2}-3t^{4} \end{array} \right] . Moje pytanie brzmi: jak zobaczyć wykres takiego odwzorowania? Nie chodzi mi o wpisanie tego w wolframa, a o to, jak w oólnej sytuacji poradzić sobie z wy...

X ma rozkład wykładniczy o parametrze \alpha . Znaleźć rozkład Y=1/X . -- 25 kwi 2018, o 16:50 -- W rozwiązaniu jest \alpha \cdot \exp \left( \frac{- \alpha }{y} \right) \cdot \frac{1}{y ^{2} } 1 _{ \left( 0,+ \infty \right) } a mi wychodzi \alpha \cdot \exp \left( \frac{- \alpha }{y} \right) \cdot...