Matematyka.pl

No właśnie, nie widzę w przykładzie tych zależności

Z \(\displaystyle{ 1+ \neg d}\) wyjdzie 1. Potem....

Hej, jak rozwiązać przedostatnią linijkę? Dlaczego to równa się 1?

\(\displaystyle{ \frac{-2x^2+2}{(x^2+x+1)^2}}\)

Dziedzina pochodnej wychodzi \(\displaystyle{ (- \infty , \infty )}\). Ale mam to jeszcze przyrównać do zera, a w mianowniku wyjdą mi x do czwartej i trzeciej potęgi.

PS. Dlaczego nie mogę tak skrócić?

\(\displaystyle{ y= \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}}\)

Używam wzoru na pochodną ilorazu.

\(\displaystyle{ \frac{(x^2-x+1)'(x^2+x+1)-(x^2+x+1)'(x^2-x+1) }{(x^2+x+1)^2} = \frac{2x-1-(2x+1)(x^2-x+1)}{x^2+x+1}}\)

I nie wiem, co dalej

\lim_{ x\to \infty } \frac{x^3}{10^x}

Wychodzi nieskończoność nad nieskończoność więc można zastosować metodę Hospitala.

Pochodna drugiego rzędu wychodzi:

\lim_{x \to \infty } \frac{6x}{ln10 \cdot 10^x \cdot ln10 }

Jako że ln10 jest liczbą to wyłączyłem ją przed pochodną.

Pochodna trzeciego ...

\(\displaystyle{ (\sin ^2(5x))'=5\sin (10 x)}\) Nie rozumiem, dlaczego tak wyszło. Myślałem raczej, że: \(\displaystyle{ (\sin ^2(5x))'=2\sin x\cdot \cos 5x\cdot 5}\) -> Najpierw robię pochodną \(\displaystyle{ (x)^2}\), potem \(\displaystyle{ \sin x}\) a na końcu pochodną \(\displaystyle{ 5x}\)

\lim_{x \to 0}\frac{\ctg 5x}{\ctg x}

Wychodzi nieskończoność nad nieskończoność, więc mogę zastosować metodę L'Hospitala.

f' \left( x \right) = \left( \ctg 5x \right) '= -\frac{5}{\sin ^25x} , skąd f' \left( 0 \right) =0

g' \left( x \right) =- \frac{1}{\sin ^2x} , skąd g' \left( 0 \right) =0 ...

Czyli w dowodzie musi znaleźć się wyrażenie z założenia?

Dzięki!

No, ja wiem, że można 9 rozbić i wyciągnąć 7 przed nawias, ale zrobiłem z opisem słownym (więcej pisania) i czy takie wykonanie też jest do zaliczenia? :p

\(\displaystyle{ 2|7 ^{n}+9^{n}, n \in \NN}\)

Po bazie, założeniu, tezie doszedłem do:

\(\displaystyle{ f(n+1)=7^{n} \cdot 7+9^{n} \cdot 9}\)

I napisałem, że nieparzysta do \(\displaystyle{ n}\)-tej da nieparzystą, iloczyn dwóch liczb nieparzystych da liczbę nieparzystą, a suma dwóch nieparzystych da liczbę parzystą.

Czy zadanie jest skończone?

Tzn. chciałem zaznaczyć, że obie nierówności są równoważne.

Wychodzi, że tylko źle to zapisałem, tak?

Czy w dowodzeniu podzielności można odnosić się wyłącznie do właściwości działań i liczb? Np. tutaj:

6| n^{3} + 5n

Założenie:
6|k ^{3}+5k

Teza:

6|(k+1) ^{3} + 5k + 5

co po ...

n!>n dla n>2

Baza n = 3
6>3

Założenia n = k
k!>k

Teza
(k+1)!>k+1

Intuicyjnie czuję, że jest to prawda Można to zrobić w ten sposób?
(k+1)!>k+1 = (k+1) \cdot k!>k+1
Następnie pomnożyć założenie przez (k+1) i z tego wywnioskować, że skoro (k+1) \cdot k!>k(k+1) to teza jest prawdziwa?

Dzięki!
\(\displaystyle{ = \frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}}\)

Tym razem wzór:
f(n)=f(n-1)+ \frac{1}{(2n-1) \cdot (2n+1)}
f(1)= \frac{1}{3}

Obliczam f(n) dla kolejnych liczb naturalnych do 5 łącznie. Zakładam, że wzorem ogólnym funkcji jest:
f(n) = \frac{n}{2n+1}

Baza:
n=1 \\
f(1)= \frac{1}{3}

Założenia:
n=k \\
f(k) = \frac{k}{2k+1}

Teza:
f(k ...