Matematyka.pl

Schemat figury płaskiej, wraz z położeniem osi głównych centralnych:



Witam! W celu policzenia rdzenia przekroju tejże figury płaskiej doszedłem do momentu, w którym muszę policzyć główne promienie bezwładności figury.

Wiem, że

i_{x}= \sqrt{ \frac{ I_{x} }{A} } no i że i_{y}= \sqrt{ \frac{ I ...

zastanawia mnie jeszcze ten \(\displaystyle{ \log x}\) za nawiasem, skąd on się wziął?

\(\displaystyle{ x^{2\log^3 x - \frac{3}{2} \log x} = \sqrt{10}}\)

Co zrobiłem?

\(\displaystyle{ \log x = t ; x > 0}\)

\(\displaystyle{ x^{2t^3 - 1,5t} = 10^ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x^{t(t- \frac{\sqrt{3}}{2})(t+ \frac{\sqrt{3}}{2})} = 10^ \frac{1}{2}}\)

Dalej czarna magia...

czyli

\(\displaystyle{ \log _{8} x < 1 \\
x < 8}\)

(?)

jestem zielony ze zbieżności i rozbieżności szeregu :{

\log _{8} x + \log ^2_{8}x + \log ^3_{8}x + ... \le \frac{1}{2}

\log _{8} = t

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego

S = \frac{a_{1}}{1-q} otrzymuję \frac{t}{1-t} \le \frac{1}{2}

co kończy się otrzymaniem dwóch miejsc zerowych \frac{1}{3} oraz 1

to też t \in \left( - \infty ...

aha, czyli kiedy mamy do czynienia z przypadkiem a) czyli funkcją malejącą to znak nierówności zostaje zamieniony na przeciwny, a w przypadku b pozostaje bez zmian, zgadza się?

\log _{x^{2}-x} \left( x+3 \right) < 1

x^2-x \neq 1 czyli x \neq \frac{1+ \sqrt{5} }{2} oraz x \neq \frac{1- \sqrt{5} }{2}

Ponadto x+3 > 0
czyli x > -3

Łącząc powyższe warunki otrzymujemy x \in \left( -3; \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right) \cup \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{2}; + \infty \right ...

Igor, zupełnie nie rozumiem trzeciego wiersza

było t nagle pojawia się x . Nie wiem w jaki sposób x może mieć wpływ na przedział w jakim znajduje się t ?

Ale jeśli już to, czy przypadkiem częścią wspólną przedziałów \left\langle 0; \frac{1}{2} \right\rangle \cup \left\langle 1; + \infty \right ...

ok, doszedłem zatem do czegoś takiego i wygląda na to że jestem już blisko poprawnej odpowiedzi:

(2t^{2}-1+t)(1-t) \le 0

Z warunku na zbieżność szeregu otrzymałem, że x<0

Miejsca zerowe powyższej funkcji to \frac{1}{2} ; -1 oraz 1 zatem do gry wchodzi tylko miejsce zerowe: \frac{1}{2} oraz 1 ...

fakt, już poprawiłem. Dojechała "+1" w liczniku prawej strony nierówności

Przykład nr 2

\(\displaystyle{ 2^{x} + 4^{x} + 8^{x} + ... \le \frac{2^{x+1} + 1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2^{x} + 2^{2x} + 2^{3x} + ... \le 2^{x} + 2^{-1}}\)

\(\displaystyle{ 2^{2x} + 2^{3x} + 2^{4x} + 2^{5x} + ... \le 2^{-1}}\)


Dalej nie mam pojęcia co z tym począć

\(\displaystyle{ 2^{3x-2} \ge 5^{x- \frac{2}{3} }}\)

Siedzę i siedzę i zero pomysłu...

EDIT: w sumie na upartego można zrobić to sposobem graficznym, jednak interesuje mnie analityczna metoda

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ 5^{x} + 5^{x-2} + 5^{x-4} + ... = \frac{ \sqrt{100 \cdot 5^{x} +5 } }{24}}\)

Ogarnąłem jedynie, że lewa strona równania tworzy ciąg geometryczny o ilorazie = \(\displaystyle{ 5^{-2}}\)

Jak sobie z tym poradzić?

dzięki, ale to wiem jak narysować cały czas rozchodzi mi się o drugi przykład