Matematyka.pl

Ja tylko chciałem zauważyć, że w zadaniu było założenie o \NWD(x,y,z)=1 , a rozwiązania arka nie spełniają tego założenia. Nie wczytywałem się, ponieważ brak tekstu mnie trochę odrzucił, natomiast może to być poprawny argument, że rozwiązań o takiej własności nie ma, ponieważ o ile rozwiązanie arka...

Możemy zrobić tak: Skoro ciąg \frac{2^k}{(k+1)^5} jest rozbieżny do nieskończoności, to dla dostatecznie dużych liczb naturalnych k zachodzi nierówność 2^k \geq (k+1)^5 . Następnie dla n na tyle dużych, że dla liczby naturalnej k=\left[ \sqrt n\right] zachodzi wspomniana nierówność, mamy: 2^{\sqrt n...

Tak jak chyba wszyscy użyłem wzorów Viete'a, przy okazji bawiąc się otrzymanymi równościami dowiodłem między innymi, że 0 \leq a_1+a_2+a_3 \leq 3 oraz a_1a_2a_3=1 . Potem wykazałem istnienie pary (a_i,b_i) takiej, że a_ib_i<0 . Następnie dowiodłem, że dla tej pary musi zachodzić a_i>0 oraz b_i<0 . ...

Zapomniałeś o przemnożeniu przez jakobian (w przejściu na biegunowe wynosi \(\displaystyle{ r}\)).

Niech ABCD będzie danym czworokątem wypukłym. Ponadto, niech M_1 oraz M_2 będą środkami boków odpowiednio BC oraz DA . Poprowadźmy przekątną AC , oznaczając jej środek jako M_3 . Z założeń mamy |M_1M_2|=\frac{|AB|+|CD|}{2} . Natomiast z twierdzenia Talesa: |M_1M_3|=\frac{|AB|}{2} oraz |M_3M_2|=\frac...

Zadanie 9 można było błyskawicznie załatwić z Małego Twierdzenia Fermata po przyjęciu n=p-1 , gdzie p jest liczbą pierwszą większą lub równą 3 Jeśli chodzi o nierówność można było ją zrobić w inny sposób: rozbijamy lewą stronę na dwie sumy(w jednej same 1 w licznikach a w drugiej liczby x_i^2 ). Do ...

Premislav , 3 robiłem podobnie, przy czym na początku wykazałem nierówność xy+yz+zx \leq 12 , później przypadek xyz=8 można było załatwić z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb xy, yz, zx przy uprzednim wykazaniu dodatniości wszystkich zmiennych x,y,z , ale to nie było t...

To może rozwiążę geometrię bez trygonometrii: Nietrudno zauważyć, że I jest środkiem okręgu wpisanego w \triangle ABC , niech \angle BAC = 2 \alpha , a \angle ABD = 2 \beta . Wtedy 2 \alpha + 2 \beta =2 \pi /3 \Rightarrow \alpha + \beta = \pi /3 , zatem \angle AIB = 2 \pi /3 , a ponieważ \angle AIB ...

Nie tylko one, popatrz na wykresy funkcji 1 i 4 a następnie wyciągnij wnioski z danych wcześniej podpowiedzi.

Jak sądzicie, 7 zadań będzie wystarczające w tym roku dla okręgu Warszawskiego?

Przeszło by takie rozwiązanie 1? \frac{m+n^2}{m+n} = \frac{m+n-n+n^2}{m+n} = 1 + \frac{n^2-n}{m+n} Na podstawie tego wnioskujemy, że liczba n^2-n dzieli się przez m+n . Teraz m+n^3 : \frac{m+n^3}{m+n} = \frac{m+n-n+n^2-n^2+n^3}{m+n} = 1 + \frac{n^2-n-n^2+n^3}{m+n} = 1 + \frac{n^2-n}{m+n} + \frac{n^3...