Matematyka.pl

optymistycznie: B, HM, B, G, S, S pesymistycznie: HM, -, HM, S, B, B realistycznie: B, HM, HM, S, B, B Update: Wyniki są już na stronie http://www.imo-official.org/results.aspx Nasze wyniki: B,HM,HM,S,S,B Chyba niezbyt korzystny dla naszej drużyny był brak geometrii na teogorocznym IMO. Zadanie 6 by...

11. (Jeżeli wszytkie równania są cykliczne to piszę tylko pierwsze). Układ jest równoważny takiemu (az-bx) = xz(c-xz) . Podstawiamy A=az itp, dostajemy (A-B) = \frac{xyz}{y^2} (C-xyz) . Wstawmy sobie jeszcze P=xyz, U = (A-B), V = (B-C), S=C-xyz . Układ przyjmuje postać \begin{cases} y^2 U = PS \\ z^...

3. Nie istnieje. Przypuśćmy, że istnieje. Niech nasz zbiór to P_1,P_2,\ldots,P_k . (Jego skończoność wynika, stąd, że jest po n rzutów na osie OX, OY, czyli k \leq n^2 .) Wybierzmy prostą, tak aby nie była prostopadła do żadnej prostej wyznaczonej przez parę punktów P_{i}, P_{j} . Takiego wyboru moż...

20. Tego nie da się dokonać. W nieparzystych kolumnach wpisujemy liczbę +1 , zaś w parzystych liczbę -1 . Suma liczb wpisanych w szachownicę to 0 . Pionowe domino pokyrwa liczby o sumie 2 modulo 4 . Poziome domino pokyrwa liczby o sumie 0 modulo 4 . Gdyby udało nam się pokryć w szukany sposób szacho...

Definiujemy a_{n+1}:= 1-a_1-a_2-\ldots-a_n Dla a+b<1 wyrażenie \frac{ab}{1-(a+b)+ab} = \frac{1}{(ab)^{-1}(1-(a+b))+1} rośnie ze zbliżaniem z zachowaniem sumy (bo iloczyn rośnie). Czyli największa wartość lewej strony jest dla a_1=a_2=\ldots=a_n=a_{n+1}=\frac{1}{n+1} a jest ona równa \frac{1}{n^{n+1...

Utyqaq piąte było najmniej standardowe z tegorocznych zadań. Zgadzam się . Może samo w sobie nie jest bardzo trudne, ale wymagało niebanalnego pomysłu na który ciężko wpaść po minucie kminy. W swoim poście próbowałam uzasadnić, że jest inaczej. Wystarczyło spojrzeć z dobrej strony. Gdy wśród liczb ...

... bardzo standardowe (no poza 5)... Wydaje mi się, że piąte też było dość standardowe. Jeśli doświadczony olimpijczyk ma znaleźć dwie pary liczb o takiej samej sumie kwadratów to od razu skojarzy tożsamość (x^2+y^2)(z^2+t^2) = (xz+yt)^2+(xt-yz)^2 = (xz-yt)^2+(xt+yz)^2 Popatrzy na te ułamki \frac{...

Bierzemy p > n > k , i p pierwsze, oraz ciąg 1/p + s/n! = \frac{(n!/s) + p}{(n!/s)p} dla s=1,2,\ldots,k Zadanie ode mnie: Każda z n koleżanek zna pewną plotkę. Podczas rozmowy telefonicznej koleżanki wymieniają wszystkie znane im dotychczas plotki. Ile rozmów pomiędzy dwoma koleżankami musi się co ...

19 lub 16/17. Jedyne możliwe progi to właśnie 16/17 , 19 i 22. Albo dopuszczamy z trzema, albo trzeba ponad trzy, albo cztery. Liczbę punktów 3 \pmod 6 jest ciężko uzyskać, więc wątpliwe żeby znacząca liczba osób miała 15/21 punktów. W 3 i 6 będzie mnóstwo blefów: - w 3 mętne algorytmy generowania m...