Matematyka.pl

optymistycznie: B, HM, B, G, S, S
pesymistycznie: HM, -, HM, S, B, B
realistycznie: B, HM, HM, S, B, B

Update: Wyniki są już na stronie http://www.imo-official.org/results.aspx
Nasze wyniki: B,HM,HM,S,S,B

Chyba niezbyt korzystny dla naszej drużyny był brak geometrii na teogorocznym IMO.
Zadanie 6 ...

11.
(Jeżeli wszytkie równania są cykliczne to piszę tylko pierwsze).
Układ jest równoważny takiemu (az-bx) = xz(c-xz) . Podstawiamy A=az itp, dostajemy
(A-B) = \frac{xyz}{y^2} (C-xyz) . Wstawmy sobie jeszcze P=xyz, U = (A-B), V = (B-C), S=C-xyz .
Układ przyjmuje postać
\begin{cases} y^2 U = PS ...

3. Nie istnieje.

Przypuśćmy, że istnieje. Niech nasz zbiór to P_1,P_2,\ldots,P_k . (Jego skończoność wynika, stąd, że jest po n rzutów na osie OX, OY, czyli k \leq n^2 .) Wybierzmy prostą, tak aby nie była prostopadła do żadnej prostej wyznaczonej przez parę punktów P_{i}, P_{j} .
Takiego wyboru ...

20.
Tego nie da się dokonać.

W nieparzystych kolumnach wpisujemy liczbę +1 , zaś w parzystych liczbę -1 .
Suma liczb wpisanych w szachownicę to 0 .
Pionowe domino pokyrwa liczby o sumie 2 modulo 4 .
Poziome domino pokyrwa liczby o sumie 0 modulo 4 .
Gdyby udało nam się pokryć w szukany sposób ...

Definiujemy a_{n+1}:= 1-a_1-a_2-\ldots-a_n
Dla a+b<1 wyrażenie \frac{ab}{1-(a+b)+ab} = \frac{1}{(ab)^{-1}(1-(a+b))+1} rośnie ze zbliżaniem z zachowaniem sumy (bo iloczyn rośnie).
Czyli największa wartość lewej strony jest dla a_1=a_2=\ldots=a_n=a_{n+1}=\frac{1}{n+1} a jest ona równa
\frac{1}{n ...

Utyqaq piąte było najmniej standardowe z tegorocznych zadań.

Zgadzam się .

Może samo w sobie nie jest bardzo trudne, ale wymagało niebanalnego pomysłu na który ciężko wpaść po minucie kminy.

W swoim poście próbowałam uzasadnić, że jest inaczej. Wystarczyło spojrzeć z dobrej strony.
Gdy ...

... bardzo standardowe (no poza 5)...
Wydaje mi się, że piąte też było dość standardowe. Jeśli doświadczony olimpijczyk ma znaleźć dwie pary liczb o takiej samej sumie kwadratów to od razu skojarzy tożsamość
(x^2+y^2)(z^2+t^2) = (xz+yt)^2+(xt-yz)^2 = (xz-yt)^2+(xt+yz)^2
Popatrzy na te ułamki ...

Bierzemy p > n > k , i p pierwsze, oraz ciąg
1/p + s/n! = \frac{(n!/s) + p}{(n!/s)p} dla s=1,2,\ldots,k

Zadanie ode mnie:
Każda z n koleżanek zna pewną plotkę. Podczas rozmowy telefonicznej koleżanki wymieniają wszystkie znane im dotychczas plotki. Ile rozmów pomiędzy dwoma koleżankami musi się ...

19 lub 16/17.

Jedyne możliwe progi to właśnie 16/17 , 19 i 22.
Albo dopuszczamy z trzema, albo trzeba ponad trzy, albo cztery. Liczbę punktów 3 \pmod 6 jest ciężko uzyskać, więc wątpliwe żeby znacząca liczba osób miała 15/21 punktów.
W 3 i 6 będzie mnóstwo blefów:
- w 3 mętne algorytmy ...