Matematyka.pl

Czy istnieje grupa ludzi w której każdy z nich ma dokładnie 5 znajomych w tej grupie, a każde dwie osoby z tej grupy mają dokładnie 2 wspólnych znajomych? W języku teorii grafów to zadanie sprowadza się do ustalenia, czy istnieje graf (V,E) , w którym dla każdego wierzchołka A \in V zachodzi d(A)=5 ...

Udowodnij tożsamość: \int_{0}^{N} \int_{0}^{N} \min\left\{ s,t\right\} f^*(s)f(t) dsdt =\int_{0}^{N} \left| \int_{t}^{N} f(s)ds\right|^2 dt . Zespolona funkcja f jest ciągła. Zadanie rozwiązałem przez zastosowanie całkowania przez części prawej strony. Pochodną po t liczyłem z definicji. Czy ktoś mą...

Operator unitarny ma widmo w postaci koła jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej, to wiem. Może czegoś nie zrozumiałem, ale nie widzę powyższym dowodzie odpowiedzi na pytanie: czy istnieje operator unitarny o widmie {1}, który nie jest identycznością?

Operator unitarny U na ośrodkowej przestrzeni Hilberta ma widmo \left\{ 1\right\} . Czy oznacza to, że U=id ? Oczywiście U=id jest możliwym rozwiązaniem. Zadanie, jak sądzę, sprowadza się do odpowiedzi na pytanie, czy istnieje operator U \neq id , dla którego operator U-id nie jest bijekcją. Mam dwa...

Dzięki wielkie. Już kupiłem niektóre tomy i podobne kryterium przyjąłem.

Dziękuję za odpowiedź. To, że zmieniały się dokładnie tak, jak rosyjskie to jest jasne. Nie byłem pewien czy każde wydanie rosyjskie było tłumaczone na polski. Mam jeszcze jedno pytanie. Które części są na tyle zmienione, że warto kupić nowe?

Mam pytanie dla osób zaznajomionych z tematem. Czy polskie wydania podręczników Lwa Landaua zmieniały się bardzo z czasem? Chodzi mi po prostu o to, czy jest sens kupować nowe, coraz trudniej dostępne najświeższe wydania, czy wybrać używane np. z roku 1978? Czym się one różnią?

Nie wiem czy ten przykład jest godny smakoszy, ale spróbuję.
\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{(x \sin x + \cos x)^2}dx}\)

Wykazać, że wyznacznik macierzy 1+XY ^{T} , gdzie X i Y są kolumnami, jest równy 1+X ^{T}Y . Wskazówka: Dowód przez indukcję. Rozbić ostatnią kolumnę na sumę dwóch kolumn. Dla kolumny jednoelementowej zachodzi. Nie wiem jak dalej poprowadzić indukcję. Problem w tym zadaniu polega na tym, że nie bard...

Dziękuję. Rzeczywiście takie rozbicie prowadzi do poprawnej odpowiedzi.

Wyliczyć \(\displaystyle{ \Re(z^n)}\) oraz \(\displaystyle{ Im(z^n)}\) dla \(\displaystyle{ z=a+ib}\)Wskazówka: skorzstaj ze wzoru Newtona.
Rozpisałem to w ten sposób
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}a^{n-k}ib^{k}}\)
Teraz należy wyciągnąć część rzeczywistą i urojoną. Z tym mam problem. Czy mógłby ktoś mnie naprowadzić?

Teraz rozumiem. \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} {n \choose k-1}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{n+1} {n+1 \choose k}= \frac{1}{n+1}(1+(-1) ^{n+1}- \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k 1^{n+1-k}{n+1 \choose k}= \frac{1}{n+1}+ \frac{(-1) ^{n+1} }{n+1} Co po wstawieniu w miejsce do którego mnie doprowadziłeś d...

Niestety nie bardzo widzę jak to przekształcić. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} {n \choose k-1}=\sum_{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{n+1} {n+1 \choose k}}\)
To jedyne co mi przychodzi do głowy, ale nie dostrzegam aby coś z tego wynikało. Mógłbyś mnie oświecić?

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(-1) ^{k+1} \frac{1}{k}{n\choose k}=1+ \frac{1}{2}+...+ \frac{1}{n}}\)
Wskazówka: \(\displaystyle{ {n+1\choose k+1}= \frac{n+1}{k+1}{n\choose k}}\)
Czy wie ktoś jak to zacząć?

Dziekuję za pomoc. Nie sądziłem, że ten dowód jest na tym poziomie skomplikowania. Szukałem prostszego rozwiązania i pewnie dlatego nie mogłem dojść do niczego sensownego.