Matematyka.pl

Skoro \(\displaystyle{ x - }\), to w szczególności x w rozpatrywanej granicy jest ujemny, więc \(\displaystyle{ |x|=-x}\).

Policz najpierw, jakie jest prawdopodobieństwo, że ani razu nie wypadnie liczba oczek większa od 4, czyli zawsze wypadnie 1 lub 2 lub 3 lub 4...

Z podstawienia:
I= t e^{-2x}cos(2x)dx = \frac{e^{-2x}sin(2x)}{2} + P

Gdzie P= t e^{-2x}sin(2x)dx

Z drugiej strony:
I= 2\int e^{-2x}cos^2xdx - t e^{-2x}dx \\
= 2(\frac{-e^{-2x}}{2}\cdot cos^2x) - P + \frac{e^{-2x}}{2}


Czyli:

\frac{e^{-2x}sin(2x)}{2} + P = I = 2(\frac{-e^{-2x}}{2}\cdot cos ...

Obliczamy pochodną funkcji złożonej:
\(\displaystyle{ (5^{ln(2x)})'=5^{ln(2x)} ln5 (ln(2x))' \\ = 5^{ln(2x)} ln5 \frac{1}{2x} (2x)' = 5^{ln(2x)} ln5 \frac{1}{x}}\)

Nasz szereg ma postać:
a_2b_2+...+a_nb_n+...
gdzie
a_i=(-1)^i \\ b_i=\frac{n}{n^2-1}

\{b_n\} jest nierosnący, gdyż:
b_k qslant b_{k+1} \\ \frac{k}{k^2-1} qslant \frac{k+1}{k^2+2k} \\ k^3+2k^2 qslant k^3+k^2-k-1

Oprócz tego:
\lim_{n \to } b_n=0


Ponieważ \{a_n\} jest ograniczony, zaś \{b ...

Niech C' będzie obrazem punktu C w symetrii względem symetralnej odcinka BD. Oczywiście w tej samej symetrii okrąg o opisany na ABCD przechodzi sam na siebie (bo oś symetrii przechodzi przez środek okręgu o), więc punkt C przejdzie na punkt leżący na okręgu, czyli C' leży na okręgu o. Oczywiście ...

Czy te liczby mają być różne? Jeśli tak to:
n-największy wspólny dzielnik
Wtedy suma tych liczb to co najmniej:
\(\displaystyle{ n(1+2+...+49)=n\cdot 49\cdot 25}\), czyli n jest co najwyżej równe 25.

\(\displaystyle{ 36=(a+b+c)^2=2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)}\)
Bo \(\displaystyle{ (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\geqslant0}\)

We wszystkich przykładach skożystaj z jedynki trygonometrycznej, poza tym:
1) rozpisz \(\displaystyle{ tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }}\);
2) sprowadź do wspólnego mainownika;
3) po prostu rozpisz nawias;
4) zwiń we wzór skróconego mnożenia.

Funkcja logarytm jest ściśle rosnąca, więc można logarytmować stronami i wsadzać obydwie strony nierówności do wykładnika potęgi tej samej liczby bez zmiany znaku nierówności.

1.
2^x-4\cdot 2^{-x}>3 \\ log_2(2^x-2^{-x+2}>log_23 \\ \frac{log_22^x}{log_22^{-x+2}}>log_23 \\ \frac{x}{-x+2} >log_23

2 ...

1. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjątkiem takich x, dla których mianownik się zeruje (wtedy nie można określić wartości funkcji), więc musisz poszukać p, dla których mianownik jest zawsze różny od 0. Wystarczy sprawdzić, kiedy mianownik jest równy 0, szukając delty ...

Jest to powszechnie wiadome, a wynika bezpośrednio z dwumianu Newtona:
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{i=0}^{n} {n\choose i}a^ib^{n-i}}\)

3. \(\displaystyle{ (n+1)^n-1=n(\sum_{i=0}^{n-1}(n+1)^i) \equiv n(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n}) \equiv 0 (modn^2)}\)

W tym pierwszym pewnie chodzi o to, co zapisałeś (zamiast \alpha +\beta +\gamma powinno chyba być \alpha ,\beta ,\gamma ...

Tak, możesz skorzystać z funkcji arccos, ale nie wiem, czy nie prostsze od wyliczania jej wartości (bo raczej nie możesz korzystać z kalkulatora ani tablic do bezpośredniego ...

Mamy ogólnie:
arcsinx=y \\ siny=x \\ cosy=\sqrt{1-x^2} \\ arcsinx=y=arccos\sqrt{1-x^2}
24. Idzie z rozpisania sinusa sumy kątów i powyższej tożsamości.
26. Również.
25. Idzie z podobnej tożsamości:
arctgx=y \\ \frac{siny}{cosy}=x \\ 1-cos^2y=x^2cos^2y \\ cosy=\sqrt{\frac{1}{1+x^2} } \\arctgx=y ...