Matematyka.pl

Witajcie!
Mamy na okręgach \(\displaystyle{ n}\) punktów, które łączymy otrzymując ich \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\). Mam znaleźć (maksymalną) ilość obszarów, na które dzielą koło te odcinki.
Kombinowałem coś z \(\displaystyle{ {n \choose 2} + n}\), ale niestety to rozumowanie nie daje oczekiwanych efektów.
Bardzo prosiłbym o pomoc.

3) elementów jest więcej od p^{k+1}. No nie, raczej "nie więcej". Tych elementów jest nie mniej niż p^k i nie więcej niż p^{k+1} (ale nie jestem pewien, czy nie to właśnie chciałeś napisać). W związku z tym (nie wiem, czy ja sam też trochę nie namieszałem) zmieniłbym to szacowanie: a_{p^{...

Założenia kryterium są takie: mamy ciąg nierosnący (a_n) o wyrazach dodatnich. Teza jest taka: dla dowolnego p\in \NN, p>1 szereg \sum_{}^{} a_n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg \sum_{}^{} p^n a_{p^n} Tak? Tak, oczywiście. Źle zinterpretowałem to o granicach. No to szacowan...

Mam oszacowaną sumę na przedziale i jest ona ograniczona, ale z użyciem a_{p^k} Napisałeś to tak (to "ale"), jakby to stwarzało jakiś problem. Myślałem, że wraz ze wzrostem n rośnie też a_{p^k} , ale w takim razie chyba błędnie? Tych przedziałów [p^k, p^{k+1}) będzie mniej niż n , bo p^n>...

Witajcie! Jestem w trakcie dowodzenie kryterium kondensacyjnego Cauchy'ego. Niestety w pewnym miejscu troszkę się gubię i nie wiem jak zakończyć rozumowanie. Najpierw przypomnę treść kryterium: dany jest ciąg a_n: a_{n+1} - a_n \le 0 \wedge \forall_n a_n > 0 oraz p: p \in \NN, p \ge 2 , jeśli szereg...

Przecież to jest zdecydowanie najprostsza część zadania. Wystarczy mianowicie wskazać jeden szereg zbieżny, który spełnia ten trzeci warunek i jeden szereg rozbieżny. Jeżeli a_n=\frac 1 n , to \sum_{}^{} a_n jest rozbieżny na mocy kryterium kondensacyjnego (albo nierówności x \ge \log(1+x) ), tymcz...

Witam! Jestem w trakcie dowodzenia kryterium zbieżności szeregów Raabego. Przypomnę treść: Jeśli dany jest ciąg (a_n) \forall_n a_n >0 to gdy: \lim \bigg(n \bigg(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\bigg) \bigg) > 1 szereg jest zbieżny \lim \bigg(n \bigg(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\bigg) \bigg) < 1 szereg jest rozbi...

tak, rozpisz z sumy sinusow i możesz to spokojnie ograniczyć tak żeby mieć sumę sinusów(bo cosinus jest z przedzialu od 0 do 1 a sinus jest dodatni, więc wykasowanie cosinusa zwiekszy oba składniki) Czyli mam coś takiego: \sin \left| x-z\right| + | z-y| =\\= \sin |x-z| \cdot \cos |z-y| + \sin |z-y|...

leg14 pisze:Na nowym przedziale nierownosc \(\displaystyle{ \sin(|x-y|) \le \sin(x) + \sin(y)}\) zachodzi. zamien \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ |x-z|}\) analogicznie z y.

Wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \sin\left| x-y\right| = \sin\left| x -z + z -y\right| \le \sin\left| x-z\right| + | z-y|}\)
Teraz rozpisywać to z sinusa sumy i ograniczać?

ms7 pisze:Daj kontrprzykład dla drugiego warunku.
\(\displaystyle{ d(0, \pi)=0}\)

Dziękuję, faktycznie nie zauważyłem tego, a jest to całkiem fajne rozwiązanie!

Jak sprawa wyglądałaby dla: \(\displaystyle{ x \in [0, \frac{\pi}{2}]}\)? Tutaj już trzeba sprawdzać warunek trójkąta?

Witajcie! Mam sprawdzić czy d(x, y) = \sin\left| x-y\right| jest metryką na zbiorze X = [0, \pi] . Pierwsze aksjomaty, tj.: 1) d(x, y) \ge 0 2) d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y 3) d(x, y) = d(y, x) Dla każdego x, y \in X jest stosunkowo łatwo sprawdzić. Niestety problemem jest sprawdzenie nierównoś...

Faktycznie, błąd nieuwagi w kopiowaniu LaTex-owej składni. I teraz wystarczy powołać się na to, że supremum po wszystkich przedziałach sumy "wahaniowej" będzie osiągane wtedy, kiedy n \rightarrow \infty , prawda? A to z kolei w oczywisty sposób implikuje to, że \Delta x_i \rightarrow 0 i m...

TO dalej nic nie pokazuje: wsk: jak dodasz punkt c między x_k i x_{k+1} , to x_i'=\begin{cases}x_i & i\leq k\\ c & i=k+1\\ x_{i-1} & i>k+1 \end{cases} \sum_{i=1}^{n+1}|f(x_i')-f(x_{i-1}')|=\sum_{i=1}^{k}|f(x_i')-f(x_{i-1}')|+|f(x_{k+1})'-f(x_k')|+|f(x_{k+2}')-f(x_{k+1}')|+\sum_{i=k+3}^{...

Racja, ten zapis nic nie pokazuje. Zamiast tego należałoby napisać, że: pierwsza suma (bez rozdrobnienia przedziału): \sum_{i=1}^{n} \left| f(x_i) - f_(x_{i-1}) \right| Druga suma (z dodanym jednym punktem podziałowym): \sum_{i=1}^{n + 1} \left| f(x'_i) - f_(x'_{i-1}) \right| = \sum_{i=1}^{n} \left|...

No nie kończy. Skąd wiesz, że supremum sum wahania jest osiągnięte dla drobnych podziałów? Przeciez po to robiliśmy te rachunki, ale nie zrobiłeś ich do końca. Oczywiście, ma Pan rację. Należy zmienić tą część dowodu: ... ponadto zauważmy, że bierzemy supremum po wszystkich podziałach przedziału [a...