Matematyka.pl

Będziemy tworzyć permutację element po elemencie w zapisie kanonicznym. Weźmy n niezależnych zmiennych zero-jedynkowych X_1...X_n . Niech X_i = 1 wtw gdy w i -tym kroku zamykamy cykl (czyli wybierając i -ty element trafiamy na taki, który przechodzi w pierwszy element aktualnego cyklu). Pr[X_i=1]=\f...

Kartezjusz, dowodzić, że \(\displaystyle{ P(X \ge k)+P(Y=\frac{k}{4})\le\frac{2}{3}}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\)? Dlaczego?

Dobry wieczór! Mam wyliczone wzory na P(X=x) i P(Y=y) , zmienne X i Y są dyskretne i niezależne. Mam udowodnić, że P(X \ge 4Y) \le \frac{2}{3} . Czy jest to równoważne ze stwierdzeniem, że P(X \ge k \wedge Y = \frac{k}{4})\le \frac{2}{3} ? A później mogę rozbić na iloczyn prawdopodobieństw, jakby za...

Potwierdzam. Oprócz oczywistego teraz odjęcia problematycznych ustawień od wszystkich możliwych, można to też udowodnić kombinatorycznie: Niech osoby, które nie chcą obok siebie siedzieć mają numerki 1 oraz 2 . Zbudujmy pasujące do warunków permutacje n osób. Parami będą sąsiedzi o pozycjach nieparz...

Działa. Chcemy podzielić zbiór n elementowy na \frac{n}{2} par, nie liczy się kolejność par ani kolejność osób w parze. Używając do tego https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Newtona#Uog.C3.B3lnienie_na_wielomiany_wy.C5.BCszych_stopni możemy rozważyć {n \choose \underbrace{2,2,2, \ldots 2}_{\frac{n}{...

Find union to overkill w tym przypadku, bo masz znaleźć tylko ilość składowych. Wyrzuć z twojego algorytmu operacje union oraz przerzuć szukanie maksimów i "scalanie składowych" (nie scalaj, tylko zliczaj je według twojego pomysłu z minimami i maksimami) do drugiej części kroku 2.

Potwierdzam. Inne rozwiązanie to chociażby powiedzenie, że możemy "zejść" jeden poziom niżej na drabinie na dokładnie 2 sposoby: na dół oraz w bok i na dół. Po dotarciu do pewnego wierzchołka, jeżeli w drzewie DFS istniałaby gałąź idąca po elementach wyżej na drabinie, to byłaby ona dokład...

\frac{n(n-1)}{2} krawędzi to jest w grafie pełnym (który, swoją drogą, też jest regularny, n-1 -regularny), ale w grafie regularnym, w którym każdy wierzchołek jest stopnia r , jest \frac{r \cdot n}{2} krawędzi (każda krawędź łączy dwa wierzchołki, z każdego wierzchołka wychodzi r krawędzi), więc m...

WhiteRabbit7, Twoja odpowiedź i rozumowanie są OK.

Mamy graf planarny o w wierzchołkach. Chcemy indukcyjnie udowodnić, że zachodzi s+w-k=2 . Będziemy indukować po ilości krawędzi grafu planarnego dołożonych do jego podgrafu o w wierzchołkach będącego drzewem. Baza: Podgraf będący drzewem. Jest w-1 krawędzi i jedna ściana. 1 + w - (w-1) = 2 . Krok: M...

Przy ustalonej liczbie wierzchołków indukcyjnie po liczbie krawędzi. Zacznij indukcję od przypadku, kiedy \(\displaystyle{ k=w-1}\), czyli od drzewa. Potem dokładaj krawędzie. Zauważ, że kiedy dokładamy jedną krawędź, to pojawia się nam jedna ściana.

To prawda, że z jednego takiego zbioru można utworzyć 11! ciągów, z czego 11!-2 niemonotonicznych. Ale tu nas to nie obchodzi. Przy zliczaniu korzystamy z faktu, że jeden taki zbiór odpowiada dokładnie dwóm ciągom monotonicznym. Więc jeżeli potrafimy zliczyć ilość zbiorów, to pośrednio policzymy ilo...

Ze wszystkich n elementów w zbiorze jeden jest już wybrany ( 11 musi należeć do tego zbioru, czyli wrzucany ją tam na samym początku bez żadnego losowania). W urnie zostało n-1 elementów z których wybieramy dziesięć do wypełnienia zbioru (a jednocześnie ciągu). {n-1 \choose 10} Zbiór można jednoznac...

Najpierw policzmy ciągi 11 -elementowe, których elementy należą do [n] (czyli zbioru od 1 do n). {n \choose 11} \cdot 11! , bo wybieramy elementy do ciągu i permutujemy je. Teraz trzeba zauważyć, że ilość ciągów ściśle monotonicznych (losujemy bez zwracania, elementy się nie powtórzą) o k elementach...

Skoro x \equiv 14 \pmod{28} to x=28n + 14 dla pewnego n\in \mathbb{N} . Postawiając do pierwszego równania mamy 28n+14 \equiv a \pmod{8} \\ 4n+6 \equiv a \pmod{8} \\ n może być parzyste lub nie, czyli przypadki: 1. \\ n = 2k \\ 8k+6 \equiv a \pmod{8} \\ 6 \equiv a \pmod{8} \\ \\ 2. \\ n = 2k+1 \\ 8k...