Matematyka.pl

To, że a, b \neq 0 pociągają ab \neq 0 można pokazać wprost: wystarczy ograniczyć się do przypadku a, b > 0 , wziąć po jednej liczbie wymiernej z przedziałów (0, a) i (0, b) * i zauważyć, że ich iloczyn leży między 0 i ab , choć pewnie można jeszcze prościej. * \mathbb Q \subseteq \mathbb R jest gęs...

Może to głupie pytanie, ale skąd wiemy, że liczba odwrotna do \(\displaystyle{ a \neq 0}\) istnieje?

Zagięciem lub załamaniem - nie jest to standardowe określenie, nie umiałam go znaleźć nigdzie w sieci.

Warto przypomnieć sobie szereg Mercatora dla \(\displaystyle{ \log (1+x)}\).

Nie wiem, czy stwierdzenie \sqrt[n]n \to 1 nie pojawia się gdzieś podczas definiowania funkcji wykładniczej. Bezpieczniej jest to zrobić tak: n = (1 + \sqrt[n]n - 1)^n \ge 1 + {n \choose 2} (\sqrt[n]n - 1)^2 , więc n - 1 \ge \frac{n(n-1)}{2} (\sqrt[n]n - 1)^2 , a stąd już wynika \sqrt[n]n - 1 \le \s...

Aby dowieść (...) dla \(\displaystyle{ B^n = B^{2k-1}}\), wystarczy zauważyć, że jeśli ciągłe odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) nie posiada punktów stałych, to \(\displaystyle{ g}\) także ma tę własność.

Czy ktokolwiek wie, jak ugryźć ten problem? Chcę pokazać, że macierz n \times n nad ciałem \mathbb C zeruje wielomian f(z) = \det (z - A) . Wskazówka do zadania: użyć wzoru całkowego Cauchy'ego, n(\gamma, a) f(a) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(z)}{z - a} \,\textrm{d}z . Chyba wiem, co powinno...

OEIS twierdzi, że jeszcze nikt, możesz być pierwszy, natomiast podaje wzór \sum_{n=1}^\infty \frac {\varphi (n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta (s)} oraz zależność \sum_{n=1}^\infty \varphi(n) \cdot \frac{x^n}{1-x^n} = \frac{x}{(1-x)^2} . Udowodnienie którejkolwiek z nich powinno być świetną zabawą ...

Premislav ma rację, wynik całkowania to \left(\int_0^1 \exp (-t^2) \,\textrmdt\right)^2 i nie sposób tego uprościć. Może chodziło jednak o całkę Gaussa? \int_{\mathbb R^2} \exp (-x^2-y^2) \, d\lambda^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \exp(-r^2) \,\textrm dr \,\textrm d\theta = \pi . Żeby uzyskać ten...

Nie radzę wam sprawdzać, jak powstał wiersz "Nieśmiały cybernetyk potężne ekstrema...".

10. Niech a i b będą liczbami naturalnymi, takimi ze a^2b - b+1 jest kwadratem liczby całkowitej. Czy z tego wynika że istnieje jakieś c o tej własności iż liczby b^2c - c +a -1 i a^2c - c+b - 1 też są kwadratami liczb całkowitych ? Nie, jeśli a = 3 oraz b = 1 , to a^2 b - b +1= 9 jest kwadratem li...

Całka jest nieelementarna.

Załóżmy, że podzieliłeś odcinek [0,1] punktami 0 = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = 1 , przy czym \textstyle x_k < \frac 1 2 < x_{k+1} dla pewnego k . Rozbij swoją sumę na trzy składniki: \sum_{i=0}^{k-1} m_i \Delta x_i = \sum_{i=0}^k x_i (x_{i+1} - x_i) m_k \Delta x_k = \min(x_k, 1 - x_{k+1}) \cdot...

Wzór \(\displaystyle{ VX = EX^2 - (EX)^2}\) zawiera odpowiedzi na wszystkie Twoje wątpliwości.

Podstaw \(\displaystyle{ t = 3^x}\) i doprowadź do równania wielomianowego.