Matematyka.pl

Mam do policzenia całkę: \oint_{K(i;2)} \overline{z} + \frac{e^{z}}{z-4} dz Próbuję rozwiązać to zadanie w ten sposób: całka z czynnika \frac{e^{z}}{z-4} jest równa 0 z tw. Cauchy'ego (w tym okręgu). Zostaje \overline{z} . Korzystam z parametryzacji: z(t) = i+ 2e^{it} , t \in \left[ 0, 2\pi\right] i...

Czyli ostatecznie \(\displaystyle{ f(z)}\) jest holomorficzna w \(\displaystyle{ \Omega = \CC \setminus \left\{ -2\right\}}\) ?

W jakim obszarze funkcja \(\displaystyle{ f(z) = \frac{z}{z+2}}\) jest holomorficzna?

Próbowałem wyznaczyć \(\displaystyle{ \Re z}\) i \(\displaystyle{ \Im z}\) i sprawdzić warunki Cauchy'ego-Riemanna ale niestety coś nie wychodzi. Doszedłem do tego:
\(\displaystyle{ \frac{z}{z+2} = 1-\frac{2}{z+2}}\)

Jak sprawdzić ten obszar?

Mam rozwinąć następującą funkcję w szereg Maclaurina: f(x)=x^{4} \cdot e^{-2x} Po wyliczaniu wychodzi mi: f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-2)^{n} \cdot \frac{x^{n+4}}{n!} A pytanie jest nast.: trzeba gdzieś jeszcze sprawdzać/liczyć coś z resztą? Czy wystarczy liczyć pochodne kolejne a resztę pomijać?

A, czyli w takim razie można normalnie użyć de l'Hospitala.

A czy wzór:
\(\displaystyle{ \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = b'(x) \cdot f(b(x)) - a'(x) \cdot f(a(x))}\)
można stosować dla każdej funkcji granic całkowania, czy istnieją jakieś ograniczenia?

Dana jest granica:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{ \int_{x^{2}}^{3x^{2}} t \cdot \sin{(\frac{2}{t}})dt}{x^{2}}}\)

Normalnie zastosowałbym twierdzenie de l'Hospitala i wzór na pochodną całki, ale tutaj nie wiem jak określić do czego będzie dążyć taka całka - do zera, \(\displaystyle{ \infty}\) czy jakiejś innej wartości?

Mam zbadać istnienie i ew. obliczyć: \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin{(x^{2}y+x^{2}y^{3})}}{x^{2}+y^{2}} Próbuję z tw. o trzech ciągach, ale zacinam się praktycznie na samym początku: \frac{\sin{(x^{2}y+x^{2}y^{3})}}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{x^{2}y+x^{2}y^{3}}{x^{2}+y^{2}} Ktoś ma pomysł jak to zrobi...

Cyferek? Iloczyn jest równy zero, kiedy pierwiastek będzie 0. Pierwiastek będzie 0, kiedy wartość wewnątrz niego będzie 0. Potrafisz dalej?

Źle policzyłeś pochodną. Liczenie pochodnej funkcji złożonej:
\(\displaystyle{ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)}\)

Może napisz jak liczysz tą pochodną.

Tak samo jak w innych. Liczysz pochodną funkcji, szukasz w których punktach pochodna się zeruje, rysujesz sobie uproszczony rysunek pokazujący kiedy pochodna jest dodatnia a kiedy ujemna. I z rysunku takiego wszystko już widać.

Liczysz pochodną funkcji. Jeżeli w jakimś miejscu jest ekstremum to pochodna musi się zerować a w sąsiedztwie tego miejsca mieć różne znaki. Czyli np. jeżeli w jakiejś funkcji wychodzi pochodna x^{2} to zeruje się ona w x=0 ale nie ma w tym miejscu ekstremum - bo z lewej strony i prawej funkcja kwad...

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^{2}+2}{x}}\) ma minimum lokalne w \(\displaystyle{ x = \sqrt{2}}\).

Zadanie: Wykazać, że równanie x^{4}y+xy^{4}-2x^{2}y^{2} = 32 określa w pewnym otoczeniu punktu x_{0} = 2 dokładnie jedną ciągłą funkcję uwikłaną spełniającą warunek y(2) = 2 . Obliczyć y'(2) . Nie jestem pewien czy do końca poprawnie rozumuję: Mam funkcję F(x,y) = x^{4}y+xy^{4}-2x^{2}y^{2} - 32 i F(...

Mam do policzenia obszar ograniczony przez: - krzywą f \left( x \right) =\ln x - styczną do f \left( x \right) =\ln x w punkcie \left( 1,0 \right) - prostą x=e Robię to w następujący sposób, ale nie jestem pewien czy poprawnie: z - prosta styczna do y=\ln x w punkcie \left( 1,0 \right) z - f \left( ...

Mam zadanie:
Wyznaczyć dla jakich \(\displaystyle{ a \in \ZZ_{6}}\) równanie \(\displaystyle{ x^{2}+2ax+a+4=0}\) nie posiada rozwiązań w \(\displaystyle{ \ZZ_{6}}\).

Zastanawiałem się nad podstawianiem po kolei wszystkich elementów \(\displaystyle{ \ZZ_{6}}\) i obliczaniem \(\displaystyle{ \Delta}\) ale to raczej nie jest dobry sposób. Więc w jaki sposób do tego podejść?