Matematyka.pl

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ V_{a}^{b} f}\) wahanie funkcji na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) oraz \(\displaystyle{ V_{a}^{+\infty} f = \sup_{A>a} V_{a}^{A} f }\). Pokazać, że \(\displaystyle{ \sup_{A>a} V_{a}^{A} f = \lim_{A\to +\infty} V_{a}^{A}}\)

Obliczyć objętość bryły ograniczonej hiperboloidą \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{2}-4}\) i walcem \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9}\)

Chciałam upewnić się co do granic zmiennej z . I jeśli obszary podane są w równaniu ogólnym z z^{2} , to czy trzeba uwzględnić jeszcze ujemną, dolną część? Czyli dodać do tego jeszcze całkę dla z\in \left[ -\sqrt{x^{2}+y^{2}+8}, -\sqrt{3(x^{2}+y^{2})}\right] ? Albo po prostu wynik otrzymany z górnej...

Obliczyć objętość bryły ograniczonej stożkiem \(\displaystyle{ 3(x^{2}+y^{2})-z^{2}=0}\) i hiperboloidą \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-8}\).

Rzut obszaru na \(\displaystyle{ X0Y}\) wychodzi \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4}\), natomiast czy \(\displaystyle{ z\in \left[ \sqrt{3(x^{2}+y^{2})}, \sqrt{x^{2}+y^{2}+8}\right]}\)?

czyli w punkcie x=0 f'_{-}(0)= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{\sqrt{\ln{(h^{2}+1)}}}{h}= \lim_{ h\to 0 ^{-}} - \sqrt{ \frac{\ln{(h^{2}+1)}}{h^{2}}}=-\sqrt{\ln{e}}=-1 f'_{+}(0)= \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sqrt{\ln{(h^{2}+1)}}}{h...

tak, dla x\neq0 mamy f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{\ln{(x^{2}+1)}}} \cdot \frac{1}{x^{2}+1} \cdot 2x natomiast co w punkcie x=0 ? czy to będzie: f'(0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{\ln{(h^{2}+1)}}}{h}= \lim_{ h\to 0 } \sqrt{ \frac{\ln{(h^{2}+1)}}{h^{2}}}=\sqrt{\ln{e}}=1

Dziękuję, tak, rozumiem, czy można jednak oprócz tego odwołać się do konkretnego twierdzenia z rachunku różniczkowego? Czy np. własność Darboux?

Wyznaczyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{\ln{(x^{2}+1)}}.}\)

Z czego wynika fakt, że jedynymi funkcjami parzystymi i nieparzystymi jednocześnie są funkcje stale równe zero? Z jakiej własności/twierdzenia?

Czy ostateczna odpowiedź to \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{z+3} + \frac{1}{36} \cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( \frac{z+3}{6} \right)^{n} }\)?

Jest może jakiś prostszy sposób rozwiązania?

A jak rozpisać ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{3-z} }\)?

Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{9-z^{2}} }\) w szereg Laurenta dla \(\displaystyle{ 0<|z+3|<6}\).

Napisać wzór homografii, która przekształca okrąg \(\displaystyle{ \left| z\right| =1}\) na oś urojoną i w której punkty \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\) przechodzą odpowiednio na punkty \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ i}\).

Mógłbyś rozpisać, co dalej zrobić? Calkujemy obustronnie?