Matematyka.pl

Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ y''=e^{2y}}\)

Rozwiązać równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ x^{2}y''-2xy'+2y=x^{5}\ln{x}}\)

Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)= \frac{\sin3x}{x} }\) w szereg Taylora w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_0=0.}\)

Przepraszam, powinno być \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n^n} }\)

Sprawdzić, czy szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n n!}{7}\arctg \frac{x}{n!} }\) jest zbieżny jednostajnie na \(\displaystyle{ [-1,1].}\)

Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4x-14}{x^2-7x+10} }\) w szereg Taylora w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_0=1}\).

Zbadać zbieżność następujących szeregów:


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)(4n+2)} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{n}}{n^{n^{2}}} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1+n}{n}\right) ^{ \frac{n}{3}} }\)

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją wypukłą na \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f(x)=0}\), to funkcja \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{x} }\) jest niemalejąca na \(\displaystyle{ (0,+\infty).}\)

Chodzi o ciągłość funkcji - modułu wypukłości przestrzeni $$
\delta(\varepsilon)=\inf\{1 -\frac{\|x+y\|}{2}:x,y\in B_{1},\|x-y\|\geq \varepsilon \}.
$$ W dowodzie pokazuje się monotoniczność i wypukłość funkcji \(\displaystyle{ \delta}\), co implikuje ciągłość

Pokazać, że z tego, że funkcja jest wypukła i monotoniczna wynika, że jest ona ciągła.

wektor zerowy

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią Banacha. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z=\theta}\), to
\(\displaystyle{ \|x−y\|+\|y−z\|+\|z−x\|\ge \frac{3}{2} (\|x\|+\|y\|+\|z\|).}\)

W urnie są 4 kule białe i 2 czarne. Wylosowano bez zwracania 2 kule. Zmienna losowa X oznacza liczbę kul czarnych wśród 2 wylosowanych, Y przyjmuje wartość 1 , gdy pierwsza wylosowana kula jest czarna, natomiast 0 , gdy jest biała Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem X=1 . Ob...

Zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{100}(2n)^{n^{2}}}{(2n+1)^{n^{2}}} .}\)

Dziękuję bardzo za wyjaśnienie. Jeśli chodzi o gęstość, to będzie wyglądać tak?
\(\displaystyle{ fx)= \begin{cases} 0 \quad gdy \quad x \in \left[ - \infty , -1\right] \cup \left[ 1, + \infty \right] \\ \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^{2} } } \quad gdy \quad x\in(-1,1) \end{cases} }\)