Matematyka.pl

Wiedząc, że \(\displaystyle{ \phi}\) jest funkcją charakterystyczną, pokazać, że \(\displaystyle{ e^{\phi-1}}\) też jest funkcją charakterystyczną.

Próbowałam tak:
\(\displaystyle{ e^{-1}E(\phi^Y)=e^{-1}E(E(e^{\sum_{i=1}^YitX_i}))=e^{-1}E(E(E(e^{\sum_{i=1}^YitX_i}|Y)))}\)

Ale nic z tego chyba nie wynika.

\Omega=\{a,b,c\}, \mathcal{F}=2^{\Omega} P(\{a\}=P(\{b\}=P(\{c\}=\frac{1}{3} X(a)=1, X(b)=2, X(c)=15 \mathcal{G}=\sigma (\{a\})=\{\phi, \{a\}, \{a,b,c\}, \{b,c\}\}\} Znaleźć warunkową wartość oczekiwaną E(X|\mathcal{G}) I tutaj jest to, czego nie rozumiem - mógłby ktoś rozpisać, skąd to się dokładn...

Warunkowa wartość oczekiwana X względem \sigma -ciała \mathcal{G} to zmienna losowa E(X|\mathcal{G}) taka, że: 1) E(X|\mathcal{G}) jest \mathcal{G} -mierzalna 2) dla dowolnego B \in \mathcal{G} \int_{B}^{} E(X|\mathcal{G})dP=\int_{B}^{} XdP Mógłby mi ktoś wyjaśnić, o co tu chodzi? Czytałam definicję...

\(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3}\) iid o rozkładzie \(\displaystyle{ \text{geo}(p)}\) .
Znaleźć rozkład \(\displaystyle{ X_1|X_1+X_2}\) .

\(\displaystyle{ P(X_1=k|X_1+X_2=n)=...=\frac{p^2(1-p)^n}{P(X_1+X_2=n)}}\)

To jest niezależne od \(\displaystyle{ k}\) , więc będzie miało rozkład jednostajny, odpowiedź jest, że \(\displaystyle{ U(\{0, 1,...,X_1+X_2\})}\) - dlaczego do \(\displaystyle{ X_1+X_2}\) ?

(X_k) jest ciągiem iid o rozkładach \text{geo(p)} . Wykorzystując ten ciąg zaproponować przybliżenie sumy: \sum_{k=0}^{ \infty } \sum_{j=0}^{k} p^2(1-p)^{k+j}j Pewnie z MPWL to trzeba by robić? Próbuję najpierw pozbyć się tej wewnętrznej sumy \sum_{j=0}^{k} (1-p)^jj , ale wychodzą mi jakieś brzydki...

(U_n,V_n) ciąg nzal. wektorów losowych, (U_n,V_n) ma rozkład jednostajny na trójkącie T_n=\{(x,y) \in \mathbbb{R}^2: |x|<b_n, 0 \le y \le \frac{a_n}{b_n}(b_n-|x|)\} , a a_n i b_n są liczbami dodatnimi, n \ge 1 . Podać przykłąd ciągów (a_n) i (b_n) , że a_nb_n \rightarrow \infty oraz \sum_{n=1}^{ \i...

Jakoś prościej się nie da?

Bo chyba chodziło o to, żeby tego nie robić (dlatego mamy wykorzystać punkt a), żeby nie liczyć funkcji charakterystycznej cauchy'ego tak jak napisałeś).
Może jakoś łatwo da się znaleźć rozkład różnicy zmiennych o rozkładzie wykładniczym?

U, V są iid o rozkładzie EXP(1) . a) Znaleźć funkcję charakterystyczną Z=U-V . b) Wykorzystując to, znaleźć f. charakterystyczną \phi_X rozkładu Cauchy'ego o gęstości f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)} . a) wyszło mi \frac{1}{1+t^2} . b) mogę sobie zapisać, że f(x)=\frac{1}{\pi} \phi_Z (x) , a \phi_X=\frac{...

Tak, zapomniałam o wartości bezwzględnej, już działa -- 25 sty 2018, o 19:17 -- Jeszcze jest druga część tego zadania, której nie umiem zrobić: pokazać, że \frac{\sum_{k=1}^{n} X_k}{\sqrt{nlogn}} \rightarrow N(0,1) według rozkładu, mimo że EX_n^2= \infty . Wskazówka jest taka, żeby pokazać, że \sum_...

Xn iid o gęstości \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{|x|^3}1(|x|>1)}\).
\(\displaystyle{ Y_n=X_n1(|X_n| \le \sqrt{n})}\).

\(\displaystyle{ EY_n}\) wyszła mi zero, chcę jeszcze policzyć wariancję, ale mi wychodzi \(\displaystyle{ ln(-\sqrt{n})}\) po policzeniu całki z \(\displaystyle{ \frac{x^2}{|x|^3}}\) dla ujemnych \(\displaystyle{ x}\) i nie wiem co z tym zrobić.

P(X=k)=\frac{1}{(e-1)k!}, k \ge 1, Y|X ma rozkład EXP(X) . Znaleźć E(X|Y) . Wyszło mi, że: P(X=k|Y=y)=\frac{e^{-ky}}{e^{e^{-y}-y}(k-1)!} . Dobrze mi to wyszło? Bo jak tak, to teraz muszę policzyć \frac{1}{e^{e^{-y}-y}} \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{ke^{-ky}} {(k-1)!}} i nie wiem jak tę sumę liczyć.

Spektralny pisze:Rozważ za \(\displaystyle{ \mathcal G}\) algebrę generowaną przez \(\displaystyle{ X}\) natomiast za \(\displaystyle{ \mathcal H}\) weź \(\displaystyle{ \{\varnothing, \Omega\}}\).

Jak nie mam nic o X powiedziane, to znam algebrę generowaną przez X?

Oj, no racja

Dlaczego Xn mają skończoną wariancję jak n zbiega do nieskończoności?

Dla dowolnych \mathcal{H} \subseteq \mathcal{G} ( \sigma -ciała): \mathbb{E}(X|\mathcal{H})=\mathbb{E}((X|\mathcal{H})|\mathcal{G})=\mathbb{E}((X|\mathcal{G})|\mathcal{H}) Jak to się ma do tego, że \mathbb{E}XY = \mathbb{E}(\mathbb{E}(XY|X)) ? Chodzi mi o przejście od zawierania się \sigma -ciał do ...