Matematyka.pl

Pierwszą częścią rozwiązania wzorcowego jest pokazanie, że na B_1C_1 istnieje dokładnie jeden punkt E spełniający warunki zadania (analogicznie w przypadku punktu F na A_1B_1 ). Jeśli chodzi o ten możliwy drugi punkt, o którym piszesz, to prawdopodobnie prosta BE połowi wtedy kąt przyległy do kąta ...

Lemat nr 1: Dany jest trójkąt ABC i punkt D na BC . Wtedy \frac{BD}{DC} = \frac{BA \sin \angle BAD}{AC \sin \angle DAC} . Dowód: Rzutujemy B,C na AD i wychodzi. Lemat nr 2: W konfiguracji z zadania \Delta BFH \sim \Delta CEH . Dowód: Po przeliczeniu kątów mamy \angle BFH = \angle CEH , a po zrzutow...

{\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca} +\frac{1}{c^2+ab} \ge \frac{3}{ab+bc+ca}} \iff {\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca} +\frac{1}{c^2+ab} - \frac{3}{ab+bc+ca}} = {\frac{1}{ab+bc+ca}\left(\frac{a(b+c-a)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a-b)}{b^2+ca} +\frac{c(a+b-c)}{c^2+ab}\right) \ge 0} Bez straty ogólności niech a...

a, b, c są bokami trójkąta, więc możemy zapisać a = y + z, b = x + y, c = z + x , gdzie x, y, z \ge 0 . Ponadto z jednorodności możemy założyć, że x + y + z = 1 . Wtedy dana nierówność przyjmuje postać (1+x)^4 + (1+y)^4 + (1+z)^4 \ge 9((1-x)^4 + (1-y)^4 + (1-z)^4) , co po rozinięciu i skróceniu daj...

Drugie można też łatwo zrobić bez logarytmów, wystarczy:

Niech A,B,C będą wierzchołkami danego trójkąta. Oznaczmy przez I środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC i przez I_A środek okręgu dopisanego do trójkąta ABC na przeciwko wierzchołka A . Pokaż trzy rzeczy: 1. Dwusieczna \angle BAC i symetralna BC przecinają się w punkcie leżącym na okręgu opisanym na...

Zrzutuj \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ CM}\).

2. pojawiło się kiedyś na meczu na pewnych warsztatach, w których uczestniczyłem, i żadna drużyna go wtedy nie zrobiła, więc uznałem, że może jednak coś trudnego w nim jest.

2. Arthur Engel - Problem-Solving Strategies, zad. 90., s. 339. Jeśli ktoś zna to zadanie, to musi tylko pokaząć prostą konstrukcję na koniec. Na MEMO nie powinny pojawiać się problemy pochodzące z tak znanych źródeł... EDIT: Niech f(1)=b. Podstawiając x=1 dostajemy (1) \ f(y+1)=f(y)+2 \implies pods...

Oznaczmy f(x)= \frac{3x-1}{1-x^2} . Będziemy szukać oszacowania f(x) przez funkcję liniową, żeby wykorzystać założenie o sumie równej 1 . Wiemy, że równość w naszej nierówności zachodzi dla a=b=c= \frac{1}{3} i mamy nadzieję, że równość zachodzi tylko wtedy. Gdyby tak było, to ta prosta (funkcja li...

Po prostu wliczałeś też zbiór pusty, a na OEIS jest bez niego. - \(\displaystyle{ 2 \times n}\), - \(\displaystyle{ 3 \times n}\), https://oeis.org/A059524 - \(\displaystyle{ 4 \times n}\), https://oeis.org/A059525 - \(\displaystyle{ n \times n}\). Więcej nie znalazłem.

... mpetitions Na stronach MEMO są zadania po polsku + oficjalne rozwiązania po angielsku (przynajmniej na tych nowszych).

lub

Hint nr 2: