Znaleziono 23 wyniki

autor: micha73
5 wrz 2015, o 21:08
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Odpowiedzi: 202
Odsłony: 53974

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Pierwszą częścią rozwiązania wzorcowego jest pokazanie, że na B_1C_1 istnieje dokładnie jeden punkt E spełniający warunki zadania (analogicznie w przypadku punktu F na A_1B_1 ). Jeśli chodzi o ten możliwy drugi punkt, o którym piszesz, to prawdopodobnie prosta BE połowi wtedy kąt przyległy do kąta ...
autor: micha73
1 wrz 2015, o 12:01
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Odpowiedzi: 202
Odsłony: 53974

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Lemat nr 1: Dany jest trójkąt ABC i punkt D na BC . Wtedy \frac{BD}{DC} = \frac{BA \sin \angle BAD}{AC \sin \angle DAC} . Dowód: Rzutujemy B,C na AD i wychodzi. Lemat nr 2: W konfiguracji z zadania \Delta BFH \sim \Delta CEH . Dowód: Po przeliczeniu kątów mamy \angle BFH = \angle CEH , a po zrzutow...
autor: micha73
6 lip 2015, o 14:57
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 999
Odsłony: 124643

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

{\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca} +\frac{1}{c^2+ab} \ge \frac{3}{ab+bc+ca}} \iff {\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca} +\frac{1}{c^2+ab} - \frac{3}{ab+bc+ca}} = {\frac{1}{ab+bc+ca}\left(\frac{a(b+c-a)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a-b)}{b^2+ca} +\frac{c(a+b-c)}{c^2+ab}\right) \ge 0} Bez straty ogólności niech a...
autor: micha73
2 lip 2015, o 20:29
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 999
Odsłony: 124643

[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

a, b, c są bokami trójkąta, więc możemy zapisać a = y + z, b = x + y, c = z + x , gdzie x, y, z \ge 0 . Ponadto z jednorodności możemy założyć, że x + y + z = 1 . Wtedy dana nierówność przyjmuje postać (1+x)^4 + (1+y)^4 + (1+z)^4 \ge 9((1-x)^4 + (1-y)^4 + (1-z)^4) , co po rozinięciu i skróceniu daj...
autor: micha73
21 lut 2015, o 10:01
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXVI (66) OM - II etap
Odpowiedzi: 56
Odsłony: 17664

LXVI (66) OM - II etap

Drugie można też łatwo zrobić bez logarytmów, wystarczy:
2.:    
autor: micha73
18 paź 2014, o 21:31
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Długość między środkami okręgu wpisanego a dopisanymi
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 330

Długość między środkami okręgu wpisanego a dopisanymi

Niech A,B,C będą wierzchołkami danego trójkąta. Oznaczmy przez I środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC i przez I_A środek okręgu dopisanego do trójkąta ABC na przeciwko wierzchołka A . Pokaż trzy rzeczy: 1. Dwusieczna \angle BAC i symetralna BC przecinają się w punkcie leżącym na okręgu opisanym na...
autor: micha73
25 wrz 2014, o 19:58
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Środkowa w trójkącie.
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 533

Środkowa w trójkącie.

Zrzutuj \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ CM}\).
autor: micha73
22 wrz 2014, o 17:50
Forum: Konkursy zagraniczne i międzynarodowe
Temat: MEMO 2014 - zadania
Odpowiedzi: 13
Odsłony: 7449

MEMO 2014 - zadania

2. pojawiło się kiedyś na meczu na pewnych warsztatach, w których uczestniczyłem, i żadna drużyna go wtedy nie zrobiła, więc uznałem, że może jednak coś trudnego w nim jest.
autor: micha73
22 wrz 2014, o 14:30
Forum: Konkursy zagraniczne i międzynarodowe
Temat: MEMO 2014 - zadania
Odpowiedzi: 13
Odsłony: 7449

MEMO 2014 - zadania

2. Arthur Engel - Problem-Solving Strategies, zad. 90., s. 339. Jeśli ktoś zna to zadanie, to musi tylko pokaząć prostą konstrukcję na koniec. Na MEMO nie powinny pojawiać się problemy pochodzące z tak znanych źródeł... EDIT: Niech f(1)=b. Podstawiając x=1 dostajemy (1) \ f(y+1)=f(y)+2 \implies pods...
autor: micha73
22 sie 2014, o 20:52
Forum: Konkursy lokalne
Temat: IV Wielkopolska Liga Matematyczna - Nierówność
Odpowiedzi: 5
Odsłony: 1129

IV Wielkopolska Liga Matematyczna - Nierówność

Oznaczmy f(x)= \frac{3x-1}{1-x^2} . Będziemy szukać oszacowania f(x) przez funkcję liniową, żeby wykorzystać założenie o sumie równej 1 . Wiemy, że równość w naszej nierówności zachodzi dla a=b=c= \frac{1}{3} i mamy nadzieję, że równość zachodzi tylko wtedy. Gdyby tak było, to ta prosta (funkcja li...
autor: micha73
22 sie 2014, o 18:04
Forum: Konkursy lokalne
Temat: IV Wielkopolska Liga Matematyczna - Nierówność
Odpowiedzi: 5
Odsłony: 1129

IV Wielkopolska Liga Matematyczna - Nierówność

Ukryta treść:    
autor: micha73
17 sie 2014, o 20:38
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Kombinatoryka] szachownica, wieża i fajny podzbiór
Odpowiedzi: 11
Odsłony: 1076

[Kombinatoryka] szachownica, wieża i fajny podzbiór

Po prostu wliczałeś też zbiór pusty, a na OEIS jest bez niego. https://oeis.org/A059020 - \(\displaystyle{ 2 \times n}\), https://oeis.org/A059021 - \(\displaystyle{ 3 \times n}\), https://oeis.org/A059524 - \(\displaystyle{ 4 \times n}\), https://oeis.org/A059525 - \(\displaystyle{ n \times n}\). Więcej nie znalazłem.
autor: micha73
16 sie 2014, o 17:45
Forum: Konkursy zagraniczne i międzynarodowe
Temat: [MEMO 2014] przygotowania
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 1533

[MEMO 2014] przygotowania

http://memo2013.mik.uni-pannon.hu/compe ... mpetitions Na stronach MEMO są zadania po polsku + oficjalne rozwiązania po angielsku (przynajmniej na tych nowszych).
autor: micha73
22 lip 2014, o 20:52
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Planimetria] Pompe
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 747

[Planimetria] Pompe

hint:    
lub
inny hint:    
autor: micha73
19 lip 2014, o 14:58
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Nierówności] dwie nierówności
Odpowiedzi: 21
Odsłony: 1101

[Nierówności] dwie nierówności

Hint nr 2:
hint 2: