Matematyka.pl

Witam. Ostatnio na wykładzie prowadzący mówił o konstrukcji obiektów przy użyciu relacji równoważności. Jako jeden z przykładów pojawiła się relacja zdefiniowana na kwadracie jednostkowym, która utożsamia ze sobą górną i dolną krawędź tego kwadratu, coś w tym stylu (Nie jestem pewny, czy gdzieś się ...

Witam. Ostatnio zacząłem uczyć się o relacjach równoważności. Spory problem sprawia mi nabranie intuicji, czym tak naprawdę jest klasa abstrakcji oraz przestrzeń ilorazowa. Spójrzmy na taki przykład: A = \{\mbox{zielony kwadrat}, \mbox{niebieski kwadrat}, \mbox{czerwony kwadrat}, \mbox{czerwony stoż...

Czyli do mojej odpowiedzi należy dołożyć, że
\(\displaystyle{ [(n,0)]_{\sim} = \{(a,b) \mid \max (a,b) = n \}}\) ?

Witam. Mam daną relację równoważności na zbiorze \NN \times \NN wyrażoną następująco: (x,y) \sim (a,b) \iff \max (x,y) = \max (a,b) . Mam policzyć dla niej przestrzeń ilorazową. Wiem, że przestrzeń ilorazowa jest to zbiór wszystkich klas abstrakcji, a klasa abstrakcji danego elementu to z kolei zbió...

Witam. Zastanawiam się nad istnieniem relacji słabo antysymetrycznej, która byłaby do tego symetryczna. Musiałaby ona spełniać następujące warunki: 1) Jeżeli zachodzi xRy oraz yRx , to x = y 2) Jeżeli zachodzi xRy , to zachodzi yRx . Zatem załóżmy, że zachodzi xRy dla dowolnych x,y należących do zbi...

Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A,B A = B \iff A \setminus B = B \setminus A Implikacja z lewej do prawej jest oczywista, więc pozwolę sobie jej tutaj nie rozpisywać. Natomiast zajmę się teraz drugą implikacją: A\setminus B = B\setminus A \Rightarrow A = B Zrobiłem to przez kontrapozycję - załó...

Wiemy, że \(\displaystyle{ x \in A \Rightarrow x \in B}\). Wiemy też, że \(\displaystyle{ x \in A}\), więc z reguły Modus Ponens wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x \in B}\)

Witam. Mam sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów A, B. C zachodzi zależność (A \subseteq B) \land (B \subseteq C) \Rightarrow (A \cup B) \subseteq C Rozwiązałem to zadnie, jednak nie jestem pewny swojej metody - prosiłbym o komentarz. Zakładam, że lewa strona głównej implikacji jest prawdziwa - w prz...

Witam. Mam sprawdzić, czy dla dowolnych zdań p, q, r zachodzi następująca zależność: \{ p \lor q, r \lor q \} \models p \rightarrow q Nie jestem pewny, czy moje rozwiązanie jest poprawne. Rozważam tylko przypadek, w którym p jest prawdziwe - w przeciwnym razie zależność zachodzi zawsze. No więc pozo...

Witam. Mam do zbadania zbieżnosć szeregu \sum_{n =0} x^n Próbowalem zastosować kryterium Cauchy'ego, jednak bierze ono pod uwagę wyłącznie dodatnie x , a ja chciałbym zbadać zbieżnosć dla wszystkich x . Wpadłem jeszcze na inny pomysł - sprawdzić, czy szereg jest zbieżny bezwzględnie. \sum_{n = 0}|x^...

Dalej nie bardzo rozumiem: Limes inferior to te elementy, które należą do zbiorów od pewnego miejsca.
Czym zatem jest limes superior? Elementy, które należą do zbiorów do pewnego miejsca? I czy w tym przykładzie, który podałem, możliwe jest wyznaczenie tego?

Witam. Czytając pewną książkę do teorii mnogości, spotkałem się na pewne twierdzenie, które mówi, że jeżeli mamy daną indeksowaną rodzinę zbiorów oraz jest ona indeksowana liczbami naturalnymi, to mamy \liminf_{n \in \NN} A_n = \bigcup_{n=0}\bigcap_{m=n}A_m . Nie mogę sobie jednak wyobrazić, czym wl...

Witam. Zastanawiam się, czy, chcąc pokazać, że ciąg nie ma granicy, wystarczy pokazać, że zawiera dwa podciągi zbieżne do innych granic. Przykładowo, rozważmy taki ciąg a_n = (-1)^{n+1} Biorąc podciąg liczb parzystych i nieparzystych, okazuje się, że są one zbieżne do innej granicy. Czy jest to wyst...

Udowodnić, że a = \sup (Z) wtedy i tylko wtedy, gdy a ogranicza z z góry oraz (\forall \epsilon>0)(\exists z\in Z)(a- \epsilon < z \le a) , gdzie Z jest pewnym ograniczonym z góry podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. 1. a = \sup (Z) , a więc a ogranicza zbiór Z z góry (z definicji supremum). Weźmy...

Dziękuję za pomoc w zadaniu, trochę zalazło mi ono za skórę.
Mogę iść spokojnie spać.