Matematyka.pl

Obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \ \frac{ \pi }{2} } \frac{\cos (x)}{x- \frac{ \pi }{2} }}\) nie używając reguły de l'Hospitala

zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n} n!}{n^{n}}}\)

wiem ze tutaj to raczej kryterium Cauchy'ego i ze wychodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{e \cdot \sqrt[n]{n!} }{n}}\)

ale nie wiem jak tą granice policzyc

równanie stycznej w punkcie :
\(\displaystyle{ y-y_{0}=f`(x_{0})(x-x_{0})}\)
wstawiam warunek \(\displaystyle{ f(2)=0}\)
\(\displaystyle{ y=f'(2)(x-2)}\)
co dalej z tym zrobić ?

Pokazać, że rozwiązanie równania \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = x^{2} + e^{-y^{2}} ,
y(0)=0}\) istnieje dla \(\displaystyle{ x \in \left[ 0, \frac{1}{2} \right]}\) jest jedyne oraz

\(\displaystyle{ \left| y(x)\right| \le 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \left[ 0, \frac{1}{2} \right]}\)

Znaleźć równanie linii przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(2,0)}\) i takiej, że odcinek każdej stycznej do tej linii zawarty między puktem styczności i punktem przecięcia z osią OY ma stałą długość 2
Od czego takie zadanie zacząć ?? jakies pomysły ?

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = (x-y)^{2}+1 , y(0)= \frac{1}{2}}\)
czy można tu zastosować podstawienie \(\displaystyle{ u=x-y}\) ?

w pierwszym mozna znalesc czynnik całkujący zalezny od y
w drugim czynnik całkujący będzie postaci \(\displaystyle{ \mu (xy)}\)

stałą C wyliczysz , jak do rozwiązania ogólnego wstawisz warunek początkowy y(1)=0

ale pierwiastki przeciez mogą byc zespolone ...

w drugim podziel przez x i tez jest o rozdzielonych zmiennych'

\(\displaystyle{ x+x^{4}+2x^{2}+y^{2}+y \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = 0}\) gdzie czynnik całkujący ma być postaci : \(\displaystyle{ \mu (x^{2}+y^{2})}\)

wiem jak sprwdzic zupełność tego równania , nie jest zupełne z warunku Schwarza, nie wiem tylko jak znalezc czynnik który ma byc akurat tej postaci

a pozniej musze jeszcze odjąć powierzchniową z powierzchni z=0 , tak ? czyli generalnie domknięcie w tym przypadku nie zmieni wyniku ?

\(\displaystyle{ \int_{S} zdxdy}\) gdzie \(\displaystyle{ S:x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 , z \geqslant 0}\) zorientowana tak, że wektor normalny tworzy kąt ostry z osią Oz

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią :
\(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=a^{3}z}\)

ale w pierwiastku x jest do 4-tej potęgi ...