Matematyka.pl

punkty O,M_i,H_i nie muszą być współliniowe, bo my patrzymy na obrazy prostych M_iM , więc wystarczy aby prosta M_iM oraz punkty H_i,O leżały na jednej płaszczyźnie( oraz był odpowiedni stosunek odległości). To zachodzi,bo płaszczyzna przechodząca przez prostą eulera i prostopadła do danej ściany sp...

Tu wystarczy zrobić jednokładność względem punktu \(\displaystyle{ O}\) o skali \(\displaystyle{ 3}\) i wtedy prosta \(\displaystyle{ M_iM}\) przechodzi na prostą\(\displaystyle{ H_iH}\), gdzie \(\displaystyle{ H}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ M}\). Zachowujemy też prostopadłość tych prostych do ściany czworościany.

13. Oznaczmy f(0)=a podstawmy y=0 otrzymujemy f(f(x))=f(x)(a+1) z tego równania podstawiając x=0 otrzymuje f(a)=a(a+1) . Początkowe równanie można przepisać jako f(x+y)a=f(x)f(y)-xy . Teraz podstawiając x=a, y=-a mamy a^2=f(-a)a(a+1)+a^2 \Leftrightarrow 0=f(-a)a(a+1) Jeżeli a=-1 to wtedy f(f(x))=f(x...

Zadanie 11. Punkty M,N,E,F leżą na jednym okręgu \omega , co łatwo można udowodnić. Oznaczmy przez M',N' przecięcia symetralnych AB,AC z okręgiem \omega Oraz oznaczmy przez O środek okręgu opisanego na ABC . Korzystając z twierdzenia Pascala dla punktów M,N,E,F,M',N' Mam, że przecięcia MF,NE i MM',N...

70. z 101 Nierozwiązanych. Udowodnię silniejszy twierdzenie: Jeżeli dodatnie liczby niewymierne \alpha, \beta spełniają warunek \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1 , to każda liczba całkowita jest w ciągu [n\alpha] albo [m\beta] dokładnie raz (dla m,n \in \ZZ_+ ). Dowód: \frac{\frac{1}{\alpha} \cdot ...

Niech \(\displaystyle{ \left\{ x \right\}}\) oznacza część ułamkową liczby \(\displaystyle{ x}\). Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ 1- \log{\left( \frac{9^n+199}{9^n}\right) } \ge \left\{ n \log{9} \right\} \ge \log{\left( \frac{9^n}{9^n-71}\right) }}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ n}\) cyfrowa \(\displaystyle{ x}\), że każda jej cyfra jest niezerowa i \(\displaystyle{ x}\) jest podzielne sumę swoich cyfr.

Wydaje mi się, że jest to ciekawe zadanie i chyba można je rozwiązać na wiele sposobów.

Dowód: Dla n=2 . Zamiast wektorów weźmy liczby zespolone \alpha_1 i \alpha_2 . Załóżmy nie wprost, że wartość bezwzględna z każdej sumy jest większa od \sqrt 2 , wtedy \sqrt 2 . 4=2^2=(\sqrt 2)^4<|\alpha+\beta||\alpha-\beta||-\alpha+\beta||-\alpha-\beta|= |\alpha^2-\beta^2||\alpha^2-\beta^2|=|\alpha...

17. Moniczność nie wystarczy, bo można manipulować wyrazem wolnych i wyrazem przy x , aby otrzymać pierwiastek między dwoma różnymi liczbami rzeczywistymi \alpha i \beta . Wystarczy, aby |W(\alpha)-W(\beta)|\ge 1 , bo wtedy można zmienić wyraz wolny tak ,aby W(\alpha) \ge 0 i W(\beta)\le 0 (albo na ...

rozwiązanie wygląda na poprawne. Moje rozwiązanie jest bardziej elementarne: Zauważmy najpierw, że jeśli S(n) jest liczbą trójkątną, to 8S(n)+1[ jest kwadratem(na odwrót też działa). Jeżeli p|a-1 \Leftrightarrow a \equiv 1 \pmod{p} ( p jest pierwsze), to wtedy S(n) \equiv n+1 \pmod{p} , czyli S(n) g...

Udowodnię następujący lemat: Jeśli da się dla 5^m , to da się dla n5^m , gdzie NWD(n,10)=1 . Dowód: Niech a będzie wielokrotnością 5^m o nieparzystych cyfrach. Załóżmy, że a ma x cyfr. n|\frac{10^{\varphi(n \cdot (10^x-1))}-1}{10^x-1}=10...010...010...01 , pomiędzy jedynkami jest x zer. liczba 5^m \...

26) 34. Zadanie z nierozwiązanych weźmy wielomian W w zmiennych x_1,x_2,...x_n będący iloczynem 2^{99} wielomianów x_1 \pm x_2 .... \pm x_n . Wielomian W jest parzysty względem każdej ze zmiennych, bo zmiana x_i na -x_i nie zmienia wielomianu (w przypadku x_1 również, bo po pomnożeniu przez -1 każde...

Trzeba napisać program Ja napisałem w c++ i pozwoliłem programowi działać przez 20-25 minut. Po prostu zaczynałem od każdej pary liczby pierwszych i liczyłem kolejne wyrazu ciągu aż trafiłem na początek cyklu albo powtórzyłem jakąś parę liczb pierwszych. Mogą udostępnić kod jak ktoś jest ciekaw. I t...

63. Zadanie z nierozwiązanych Udowodnię podpunkt 1. Oznaczmy przez gpf(x) największy dzielnik pierwszy liczby x. Rozważmy w ogólności ciąg p_i określony tak, że p_1,p_2 są liczbami pierwszymi, a p_n=gpf(p_{n-1}+p_{n-2}+2a) , gdzie a\in \ZZ_+ , n=2,3,4,5,... . Niech p będzie taką nieparzystą liczbą p...

Zadanie 67. z nierozwiązanych
niech \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 2x}\) będą ułożone z tych cyfr. Wtedy \(\displaystyle{ 2 \cdot (2+3+4+5+6+7+8+9)=88=S(x)+S(2x) \equiv 2x+x \pmod{9}}\), co daje sprzeczność, bo \(\displaystyle{ 3 \nmid 88}\) Oznacza to, że nie ma takich liczb.