Matematyka.pl

Trywialny przykład: operator T\colon D\rightarrow \ell^2(\mathbb{N}) , gdzie D=\operatorname{span} \{\delta_n\,|\, n\in \mathbb{N}\} dany wzorem T(x)=x . Nie jest on samosprzężony, bo nie jest domknięty. Tutaj https://math.stackexchange.com/questions/3468336/multiplication-operator-that-is-not-self-...

Zdefiniujmy funkcję f\colon \mathbb{R}_{\ge 0}\rightarrow \mathbb{R} następująco: f=\begin{cases} 0 & x\in [0,1[ \\ 1 & x\in [1,2[ \\ \int_{x-2}^{x-1} f(t) \mbox{d}t & x \ge 2 \end{cases} . Funkcja ta jest ciągła dla x > 2 , należy wykazać, że ma ona granicę w nieskończoności. Intuicyjni...

Tak, z tym, że \langle f,g\rangle oznacza parowanie pomiędzy \ell^p,\,\ell^q czyli \langle f,g\rangle=\sum_{k=1}^{\infty} f_k g_k . (Dla przestrzeni L^p analogicznie). W konsekwencji, musisz badać ten sam ciąg liczbowy \int f_n g niezależnie od tego czy badasz zbieżność (f_n)_{n\in\mathbb{N}} w topo...

Z definicji ciąg uogólniony (x_i)_{i\in I} elementów przestrzeni Banach X zbiega słabo do x\in X jeśli \langle \phi,x_i\rangle \to \langle \phi,x\rangle dla każdego \phi \in X^* . Z kolei ciąg uogólniony (\phi_i)_{i\in I} elementów X^* zbiega do \phi\in X^* *-słabo jeśli \langle \phi_i,x\rangle \to ...

Zdaję sobie sprawę z tego, że odkopuję stary post, sądzę jednak, że uwagi jakie padły w tym wątku (mówiące o implikacji f'(x_0)>0\Rightarrow f jest rosnąca na pewnym odcinku ]x_0-delta,x_0+delta[ ) są nieprawdziwe. Weźmy funkcję f \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\colon x\mapsto \begin{cases} ...

Rozważ ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}}\) o normie \(\displaystyle{ \|f_n\|=1}\) takich, że ich supporty to coraz węższe odcinki zawierające punkt \(\displaystyle{ 2}\) (czyli punkt w którym funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto x(x-4)}\) ma ekstremum).

To pomyłka, powinno być oczywiście \(\displaystyle{ \Omega\ni z \mapsto z-z^{-1}\in\mathbb{C}}\).

Implikacji w obie strony nie uda się pokazać, ponieważ warunek \forall_{x\in X} \|T x\|=\|x\| charakteryzuje izometrie. Aby się o tym przekonać wystarczy wziąć shift S\colon \ell^{2}(\mathbb{N})\ni e_{n}\mapsto e_{n+1}\in \ell^{2}(\mathbb{N}) który jest izometrią ale nie jest operatorem unitarnym (p...

Jesteś pewna, że to jest właściwa definicja? Według mojej wiedzy T jest częściową izometrią jeśli jest izometrią po obcięciu do (\ker T)^{\perp} . Czyli jest izometrią na pewnej domkniętej podprzestrzeni i zerem na podprzestrzeni ortogonalnej do niej. Warunkiem równoważnym byłoby T^* T=(\text{rzut o...

Spróbuj najpierw udowodnić następującą nierówność: Niech A=(A_{i,j})_{i\in\{1,\dotsc,m\},j\in\{1,\dotsc,n\}} będzie macierzą m\times n reprezentującą operator liniowy \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m} . Na \mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m} zadajemy normę indukowaną przez iloczyn skalarny. Prawdz...

Czy mógłbyś powiedzieć jakie twierdzenia z teorii \(\displaystyle{ C^*}\) algebr masz na myśli, a które przestają zachodzić bez założenia ośrodkowości?

Mam pytanie mało konkretne: czasem widzi się, że autorzy zakładają, że przestrzeń Banacha X , której dotyczy rozumowanie, jest ośrodkowa. Jakie najważniejsze własności odróżniają przestrzenie ośrodkowe od tych które nie spełniają tego warunku, innymi słowy co motywuje takie założenie? (Artykuł o prz...

Stosuję następujące definicje: Ciąg uogólniony (w X ) to dowolna funkcja \Lambda\rightarrow X\colon \lambda \mapsto x_{\lambda} , gdzie X jest przestrzenią topologiczną, a \Lambda jest zbiorem skierowanym. Jeśli mamy dwa ciągi uogólnione (x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda},\;(y_{\sigma})_{\sigma\in\Si...

Tak, ze zwartości \overline{\{\mu_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}} nie można wnioskować o istnieniu zbieżnego podciągu (\mu_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}} , ale wciąż można wnioskować o istnieniu zbieżnego podciągu uogólnionego (\mu_{n_{\lambda}})_{\lambda\in\Lambda} (stosuję tłumaczenie, ciąg uogólniony = net).

Czy mógłbym poprosić o dalsze wyjaśnienie, w którym miejscu rozumowanie się załamie jeśli odrzucimy metryzowalność przestrzeni X ? Tw. Banacha-Alaoglu wciąż gwarantuje nam zwartość domknięcia zbioru \{\mu_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\subset C(X)^* (w słabej- \ast topologii), a więc powinien istnieć zbie...