Matematyka.pl

Czy całkę \(\displaystyle{ \int \frac{e^x}{x}dx}\) można policzyć przy użyciu jakiejś elementarnej metody?

2. A jak najłatwiej rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję \(\displaystyle{ e^x\cdot\ln (1+x)}\)?

Czy przy odpowiednich założeniach wszystkie poniższe działania są "legalne"?

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{-x^2-6x-8}=\frac{1}{1-(x+3)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}[(x+3)^2]^n.}\)

Ponadto, co dzieje się w dodawaniu szeregów z tymi stałymi, \(\displaystyle{ u,\ v}\) jak w przykładzie tutaj:

... dejmowanie

?

Rzeczywiście pochodne były źle policzone.

Natomiast teraz mam problem z inną funkcją: \(\displaystyle{ \ln (1+e^x)}\). Jak można ją rozwinąć?

Mam do rozwinięcia f(x)=e^x\cdot\sin x . Obliczam pochodne: f'(x)=e^x(\sin x+\cos x)\\ f^{2}(x)=2e^x(\cos x)\\ f^{3}(x)=-4e^x(sinx)\\ \vdots f^{3n}(x)=(-1)^{n+1}4^ne^x \sin x\\ f^{3n+1}(x)=(-1)^n4^ne^x(\sin x+\cos x)\\ f^{3n+2}(x)=(-1)^n2^{2n+1}e^x\cos x, zatem: f^{3n}(0)=0,\ f^{3n+1}(0)=(-1)^n2^{2n...

Premislav pisze:...można podstawić \(\displaystyle{ t=\arcsin x}\)...

Rzeczywiście, dostajemy wtedy \(\displaystyle{ \int\frac{dt}{(\cos t)^2}}\). Najprostsze sposoby nierzadko bywają najlepsze, a ja próbowałem kombinować niewiadomo jak.

Jakoś nie mogę sobie poradzić z obliczeniem \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{(1-x^2)^\frac{3}{2}}}\), chociaż kiedyś już ją chyba rozwiązałem. Jakie rady?

Literówka, poprawione.

Mam do rozwinięcia funkcję: f(x)=x^2e^x . Wtedy: f'(x)=(2x+x^2)e^x,\\ f^{(2)}(x)=(2+4x+x^2)e^x,\\ f^{(3)}(x)=(6+6x+x^2)e^x,\ \dots ,\\ f^{(n)}(x)=(2(n-1)+2(n-2)+\dots +2(1) +2nx+x^2)e^x =\\ (2(n(n-1)-\frac{1}{2})+2nx+x^2)e^x =(2n^2-2n-1+2nx+x^2)e^x. Stąd: f^{(n)}(0)=2n^2-2n-1 . Więc szereg jaki mi w...

Próbowałem tak:

\(\displaystyle{ g(x)=(x-(a+\sqrt{2})(x-a+\sqrt{2})(x-b)=x^3+x^2(-2a-b)+x(a^2+2ab-2)+2b-ba^2}\).
Wtedy \(\displaystyle{ a+\sqrt{2}}\) będzie pierwiastkiem \(\displaystyle{ g}\), pozostaje tylko poradzić sobie jakoś z tymi współczynnikami, ale chyba nie tędy droga...

Pewnie się mylę, ale czy to nie powinno być raczej: \(\displaystyle{ (x-(a+\sqrt{2})) \cdot (x+(a+\sqrt{2}))}\)? I dlaczego koniecznie potrzebujemy wielomianu stopnia trzeciego?

Pomyłka, poprawione.

Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ f(x)=x^3+x+1}\). Znaleźć wielomian o współczynnikach całkowitych taki, że jego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ a+\sqrt 2}\).
Jakieś wskazówki?

Zapewne chodziło o powłokę liniową. W zadaniu 1) można inaczej przedstawić nasz zbiór, tzn. \{(x{,}\frac{2}{5}\cdot x)\in\mathbb R^2\ : \ x\in\mathbb R\} . Nietrudno zauważyć, że zbiór ten przedstawia prostą na płaszczyźnie kartezjańskiej, a prostą tę generuje dowolny wektor niezerowy o początku w p...

Witam.

Mam problem z wyświetlaniem symboli matematycznych (ale tylko niektórych), np. w przeglądarce internetowej. Zamiast tego w ich miescach widzę puste prostokąty. Jak temu zaradzić?

Dziękuję i pozdrawiam!