Matematyka.pl

Ta funkcja ma taki sam wykres funkcji jak funkcja \(\displaystyle{ \sgn x}\) (signum). Wykres można zobaczyć tutaj

Funkcja jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \left\{0\right\}}\)

Cześć, mam problem z poniższym zadaniem Znajdź zbiór punktów ciągłości funkcji f(x) = \begin{cases} x^{2} \quad dla \quad x \in \mathbb{Q} \\0 \ \quad dla \quad x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} Wydaje mi się, że ta funkcja jest nieciągła w każdym punkcie (poza zerem) tak jak funkcja...

A czy da się rozwiązać zadanie 2 w taki sposób? \sum_{n=1}^{ \infty } (-i)^na_n = -ia_1 - a_2 + ia_3 + a_4 - ia_5 - a_6 + ia_7 + a_8 + \ldots = \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2} + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}ia_{2n-1} = \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{2n-2} + i\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{2n-1} ...

Sorry, że tak późno odpisuję, ale musiałem nadrobić zaległości z algebry. Tak naprawdę granica powinna wynosić \frac{3}{2\sqrt{e}}-\frac{3}{4} . Postępując zgodnie ze wskazówką Dasia11 wyszło mi, że \sum_{n=2}^{\infty} \left(\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(-2)^{k}\cdot 3^{n-k}\cdot k!} \right) = \sum_{n=2}...

Dzięki wielkie

Cześć, mam problem z obliczeniem poniższej granicy

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty} \frac{\ln (e^{x} + 1)}{x}}\)

Korzystając z reguły de l'Hospitala wychodzi, że granica równa jest \(\displaystyle{ 1}\), ale czy da się rozwiązać to zadanie w jakiś inny sposób? Na kolokwium nie będę mógł korzystać z reguły de l'Hospitala.

Chyba już wiem jak rozwiązać to zadanie. Dobrze robię? \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = w \ \Leftrightarrow \ e^{ix} + \frac{1}{e^{ix}} = 2w \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{e^{ix}}(e^{2ix} + 1) = 2w \ \Leftrightarrow \\ e^{2ix} + 1 = 2we^{ix} \ \Leftrightarrow \ e^{2ix} - 2we^{ix} + 1 = 0 \quad t^{2}-2wt+1...

No ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest zbieżny do granicy \(\displaystyle{ g}\) gdy \(\displaystyle{ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_0 \in \mathbb{N} \quad \forall n > n_0 \quad \left| a_n - g \right| < \varepsilon}\)
A szereg jest zbieżny gdy ciąg jego sum częściowych jest zbieżny do skończonej granicy.

Cześć, mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania Wykazać, że każda liczba zespolona w \in \mathbb{C} należy do zbioru wartości funkcji \cos : \mathbb{C} \to \mathbb{C} Wydaje mi się, że trzeba wykorzystać wzór \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} , ale nie wiem co robić dalej. Gdyby ktoś mógł pod...

Cześć, mam problem z poniższym zadaniem Szereg \sum_{n=1}^{\infty} a_n o wyrazach zespolonych jest zbieżny. Udowodnić, że istnieje ciąg nieograniczony (b_n)_{n=1}^{\infty} liczb dodatnich taki, że szereg \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n jest zbieżny. Gdyby mógł ktoś podać wskazówkę jak rozwiązać to zadan...

Wydaje mi się, że się zgadza, dla a = 0 mamy szereg złożony z samych zer, więc zbieżny. Dla a = 1 mamy szereg złożony z samych jedynek więc rozbieżny. Dla a > 1 nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu \lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{ 2^{1/n}-1 }} = \lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{ 2^{1...

Czy takie rozwiązanie jest poprawne? (bazowałem na tym co mówi rafalpw) Próbuję udowodnić zbieżność z warunku Cauchy'ego \forall \varepsilon_1>0 \quad \exists k\in \mathbb{N} \quad \forall n > k \quad \left| a_{\sigma(k+1)} + a_{\sigma(k+2)} + \ldots + a_{\sigma(k+n)} \right| < \varepsilon_{1} = \va...

Cześć, mam problem z poniższym zadaniem Zbadać zbieżność szeregu \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n}+(-1)^{n(n+1)/2}} Szereg jest rozbieżny bezwzględnie z kryterium porównawczego, dla każdego n \ge 2 \quad \frac{1}{\sqrt[3]{n}+(-1)^{n(n+1)/2}} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{n}+1} Natomiast ciężko ...

Zobacz koniecznie tematy https://www.matematyka.pl/353731.htm oraz https://www.matematyka.pl/353517.htm

Jest w nich całkiem nieźle pokazane jak znajdować iloczyn Cauchy'ego.

Za pomocą różniczkowania? Niestety nie będę mógł różniczkować na kolokwium. Czy da się wykazać w jakiś elementarny sposób, że ten ciąg maleje?