Znaleziono 393 wyniki
- 29 mar 2022, o 12:01
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: Materiały związane z Olimpiadami Matematycznymi
- Odpowiedzi: 113
- Odsłony: 74025
Re: Materiały związane z Olimpiadami Matematycznymi
Hej, razem z Piotrem Ambroszczykiem napisaliśmy w czasach naszego liceum (2016-17) obszerny skrypt z geometrii olimpijskiej. Od tamtych lat niewiele w nim zmienialiśmy i postanowiliśmy wrzucić go po prostu do sieci. Zadania są bardzo zróżnicowane, zaczynając od łatwych 2-go etapowych, poprzez trudni...
- 19 cze 2018, o 23:11
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
- Odpowiedzi: 10
- Odsłony: 1740
Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
Niech X, \ Y będą punktami styczności mniejszego okręgu z AB i h . Niech prosta AB przecina h ponownie w D . Rozważmy jednokładność przekształcającą o na h . Wówczas środek okręgu h - O_h przechodzi na środek okręgu o - O . Oznaczmy przez Q' obraz punktu X w tej jednokładności. Wówczas O_hX \parall...
- 21 sty 2018, o 17:02
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: Geometria i kombinatoryka pod OMJ i OM
- Odpowiedzi: 5
- Odsłony: 2444
- 19 mar 2017, o 12:37
- Forum: Geometria trójkąta
- Temat: Dowód prostopadłości prostych w trójkącie ostrokątnym
- Odpowiedzi: 3
- Odsłony: 1812
Dowód prostopadłości prostych w trójkącie ostrokątnym
Niech M będzie rzutem prostokątnym punktu O na prostą BC , D punktem przecięcia OC i A_1B_1 , a C_1 spodkiem wysokości \triangle ABC opuszczonej z wierzchołka C . Oczywiście M jest środkiem odcinka AB . Zauważmy więc, że z własności kąta środkowego mamy \angle MOC=\frac{\angle BOC}{2}=\angle BAC . ...
- 18 mar 2017, o 14:35
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXVIII (68) OM - II etap
- Odpowiedzi: 38
- Odsłony: 15803
LXVIII (68) OM - II etap
10 punktów to próg
- 12 mar 2017, o 17:01
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXVIII (68) OM - II etap
- Odpowiedzi: 38
- Odsłony: 15803
- 4 sty 2017, o 20:02
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
- Odpowiedzi: 211
- Odsłony: 79713
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Niech H, \ O będą kolejno ortocentrum i środkiem okręgu opisanego na \triangle ABC . Okrąg wpisany w \triangle ABC oznaczmy przez \omega Definicja Dla \triangle ABC i punktu P \neq H punktem antysteinerowskim punktu P względem \triangle ABC będziemy nazywali punkt przecięcia trzech prostych symetry...
- 3 sty 2017, o 10:11
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
- Odpowiedzi: 211
- Odsłony: 79713
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Nowe zadanie: Dany jest \triangle ABC . Niech D, \ E będą spodkami wysokości z wierzchołków A, \ B . Przez M, \ H oznaczmy odpowiednio środek boku AB oraz ortocentrum ABC . Niech P, \ Q będą punktami przecięcia O(DEM), \ O(AHB) , przy czym P leży po tej samej stronie CH , co A . Pokazac, że proste ...
- 7 gru 2016, o 02:00
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXVIII (68) OM - I etap
- Odpowiedzi: 103
- Odsłony: 32625
LXVIII (68) OM - I etap
Tu był ordynarny blef xDD.
- 1 lis 2016, o 12:24
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXVIII (68) OM - I etap
- Odpowiedzi: 103
- Odsłony: 32625
LXVIII (68) OM - I etap
Jeśli chodzi o zadanie 8., to tutaj można znaleźć sporo takich śmiesznych faktów o wielomianach w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[X]}\), które przyjmują nieskończenie wiele wartości będących jakimiś potęgami. Np. zadanie 5. z zadań nieco trudniejszych stąd
- 1 paź 2016, o 15:37
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXVIII (68) OM - I etap
- Odpowiedzi: 103
- Odsłony: 32625
LXVIII (68) OM - I etap
n - liczba kul, na których napisana liczba jest nieparzysta. Zakładamy, że kule z pudełka wybieramy w nierozróżnialny sposób. Pokażemy, że prawdopodobieństwo otrzymania nieparzystej sumy, otrzymanej poprzez dodanie dwóch liczb na wybranych kulach, jest mniejsze niż \frac{1}{2} . W tym celu wystarcz...
- 16 sie 2016, o 19:33
- Forum: Planimetria
- Temat: Czworokąty podobne
- Odpowiedzi: 7
- Odsłony: 1908
Czworokąty podobne
Mając czworokąty \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\) i pokazując, że \(\displaystyle{ \triangle ABC \sim \triangle A'B'C', \ \triangle BCD \sim \triangle B'C'D', \ \triangle CDA \sim \triangle C'D'A', \ \triangle DAB \sim \triangle D'A'B'}\), otrzymamy podobieństwo czworokątów.
- 8 sie 2016, o 17:18
- Forum: Geometria trójkąta
- Temat: Środek okręgu
- Odpowiedzi: 20
- Odsłony: 2312
Środek okręgu
\(\displaystyle{ AF+BF=AB, \ AE+CE=AC}\).
- 8 sie 2016, o 17:00
- Forum: Geometria trójkąta
- Temat: Środek okręgu
- Odpowiedzi: 20
- Odsłony: 2312
Środek okręgu
Symetria jest izometrią, więc \(\displaystyle{ EF=E'F'}\). Ponadto \(\displaystyle{ AE=AE', \ AF=AF'}\), więc \(\displaystyle{ obwód \triangle ABC=BF+AF+AE+CE+BC=BF+AE'+AF'+CE+BC=BE'+AE'+AF'+CF'+BC}\), skąd \(\displaystyle{ BE'+CF'=BF+CE=E'F'}\).
- 8 sie 2016, o 16:45
- Forum: Geometria trójkąta
- Temat: Środek okręgu
- Odpowiedzi: 20
- Odsłony: 2312
Środek okręgu
To pierwsze wynika z tego, że \(\displaystyle{ BF+CE=EF=E'F'}\) oraz \(\displaystyle{ E'F=F'E}\), a to drugie wynika z tego, że właśnie \(\displaystyle{ E'F'=BE'+CF'}\).