Matematyka.pl

Hej, razem z Piotrem Ambroszczykiem napisaliśmy w czasach naszego liceum (2016-17) obszerny skrypt z geometrii olimpijskiej. Od tamtych lat niewiele w nim zmienialiśmy i postanowiliśmy wrzucić go po prostu do sieci. Zadania są bardzo zróżnicowane, zaczynając od łatwych 2-go etapowych, poprzez trudni...

Niech X, \ Y będą punktami styczności mniejszego okręgu z AB i h . Niech prosta AB przecina h ponownie w D . Rozważmy jednokładność przekształcającą o na h . Wówczas środek okręgu h - O_h przechodzi na środek okręgu o - O . Oznaczmy przez Q' obraz punktu X w tej jednokładności. Wówczas O_hX \parall...

Niech M będzie rzutem prostokątnym punktu O na prostą BC , D punktem przecięcia OC i A_1B_1 , a C_1 spodkiem wysokości \triangle ABC opuszczonej z wierzchołka C . Oczywiście M jest środkiem odcinka AB . Zauważmy więc, że z własności kąta środkowego mamy \angle MOC=\frac{\angle BOC}{2}=\angle BAC . ...

10 punktów to próg

14

Niech H, \ O będą kolejno ortocentrum i środkiem okręgu opisanego na \triangle ABC . Okrąg wpisany w \triangle ABC oznaczmy przez \omega Definicja Dla \triangle ABC i punktu P \neq H punktem antysteinerowskim punktu P względem \triangle ABC będziemy nazywali punkt przecięcia trzech prostych symetry...

Nowe zadanie: Dany jest \triangle ABC . Niech D, \ E będą spodkami wysokości z wierzchołków A, \ B . Przez M, \ H oznaczmy odpowiednio środek boku AB oraz ortocentrum ABC . Niech P, \ Q będą punktami przecięcia O(DEM), \ O(AHB) , przy czym P leży po tej samej stronie CH , co A . Pokazac, że proste ...

Tu był ordynarny blef xDD.

Jeśli chodzi o zadanie 8., to tutaj można znaleźć sporo takich śmiesznych faktów o wielomianach w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[X]}\), które przyjmują nieskończenie wiele wartości będących jakimiś potęgami. Np. zadanie 5. z zadań nieco trudniejszych stąd

n - liczba kul, na których napisana liczba jest nieparzysta. Zakładamy, że kule z pudełka wybieramy w nierozróżnialny sposób. Pokażemy, że prawdopodobieństwo otrzymania nieparzystej sumy, otrzymanej poprzez dodanie dwóch liczb na wybranych kulach, jest mniejsze niż \frac{1}{2} . W tym celu wystarcz...

Mając czworokąty \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\) i pokazując, że \(\displaystyle{ \triangle ABC \sim \triangle A'B'C', \ \triangle BCD \sim \triangle B'C'D', \ \triangle CDA \sim \triangle C'D'A', \ \triangle DAB \sim \triangle D'A'B'}\), otrzymamy podobieństwo czworokątów.

\(\displaystyle{ AF+BF=AB, \ AE+CE=AC}\).

Symetria jest izometrią, więc \(\displaystyle{ EF=E'F'}\). Ponadto \(\displaystyle{ AE=AE', \ AF=AF'}\), więc \(\displaystyle{ obwód \triangle ABC=BF+AF+AE+CE+BC=BF+AE'+AF'+CE+BC=BE'+AE'+AF'+CF'+BC}\), skąd \(\displaystyle{ BE'+CF'=BF+CE=E'F'}\).

To pierwsze wynika z tego, że \(\displaystyle{ BF+CE=EF=E'F'}\) oraz \(\displaystyle{ E'F=F'E}\), a to drugie wynika z tego, że właśnie \(\displaystyle{ E'F'=BE'+CF'}\).