Znaleziono 392 wyniki

autor: Pinionrzek
19 cze 2018, o 23:11
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
Odpowiedzi: 10
Odsłony: 715

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Niech X, \ Y będą punktami styczności mniejszego okręgu z AB i h . Niech prosta AB przecina h ponownie w D . Rozważmy jednokładność przekształcającą o na h . Wówczas środek okręgu h - O_h przechodzi na środek okręgu o - O . Oznaczmy przez Q' obraz punktu X w tej jednokładności. Wówczas O_hX \parall...
autor: Pinionrzek
19 mar 2017, o 12:37
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Dowód prostopadłości prostych w trójkącie ostrokątnym
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 962

Dowód prostopadłości prostych w trójkącie ostrokątnym

Niech M będzie rzutem prostokątnym punktu O na prostą BC , D punktem przecięcia OC i A_1B_1 , a C_1 spodkiem wysokości \triangle ABC opuszczonej z wierzchołka C . Oczywiście M jest środkiem odcinka AB . Zauważmy więc, że z własności kąta środkowego mamy \angle MOC=\frac{\angle BOC}{2}=\angle BAC . ...
autor: Pinionrzek
18 mar 2017, o 14:35
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXVIII (68) OM - II etap
Odpowiedzi: 38
Odsłony: 11344

LXVIII (68) OM - II etap

10 punktów to próg
autor: Pinionrzek
12 mar 2017, o 17:01
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXVIII (68) OM - II etap
Odpowiedzi: 38
Odsłony: 11344

LXVIII (68) OM - II etap

14
autor: Pinionrzek
4 sty 2017, o 20:02
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Odpowiedzi: 202
Odsłony: 54473

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Niech H, \ O będą kolejno ortocentrum i środkiem okręgu opisanego na \triangle ABC . Okrąg wpisany w \triangle ABC oznaczmy przez \omega Definicja Dla \triangle ABC i punktu P \neq H punktem antysteinerowskim punktu P względem \triangle ABC będziemy nazywali punkt przecięcia trzech prostych symetry...
autor: Pinionrzek
3 sty 2017, o 10:11
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Odpowiedzi: 202
Odsłony: 54473

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1223938_three_collinear_points Nowe zadanie: Dany jest \triangle ABC . Niech D, \ E będą spodkami wysokości z wierzchołków A, \ B . Przez M, \ H oznaczmy odpowiednio środek boku AB oraz ortocentrum ABC . Niech P, \ Q będą punktami przecięcia O(DEM), \...
autor: Pinionrzek
7 gru 2016, o 02:00
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXVIII (68) OM - I etap
Odpowiedzi: 103
Odsłony: 21847

LXVIII (68) OM - I etap

Tu był ordynarny blef xDD.
autor: Pinionrzek
1 lis 2016, o 12:24
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXVIII (68) OM - I etap
Odpowiedzi: 103
Odsłony: 21847

LXVIII (68) OM - I etap

Jeśli chodzi o zadanie 8., to tutaj można znaleźć sporo takich śmiesznych faktów o wielomianach w \mathbb{Z}[X] , które przyjmują nieskończenie wiele wartości będących jakimiś potęgami. Np. zadanie 5. z zadań nieco trudniejszych stąd http://om.edu.pl/sites/default/files/zadania/oboz/zwardon2008r.pdf
autor: Pinionrzek
1 paź 2016, o 15:37
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXVIII (68) OM - I etap
Odpowiedzi: 103
Odsłony: 21847

LXVIII (68) OM - I etap

n - liczba kul, na których napisana liczba jest nieparzysta. Zakładamy, że kule z pudełka wybieramy w nierozróżnialny sposób. Pokażemy, że prawdopodobieństwo otrzymania nieparzystej sumy, otrzymanej poprzez dodanie dwóch liczb na wybranych kulach, jest mniejsze niż \frac{1}{2} . W tym celu wystarcz...
autor: Pinionrzek
16 sie 2016, o 19:33
Forum: Planimetria
Temat: Czworokąty podobne
Odpowiedzi: 7
Odsłony: 681

Czworokąty podobne

Mając czworokąty \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\) i pokazując, że \(\displaystyle{ \triangle ABC \sim \triangle A'B'C', \ \triangle BCD \sim \triangle B'C'D', \ \triangle CDA \sim \triangle C'D'A', \ \triangle DAB \sim \triangle D'A'B'}\), otrzymamy podobieństwo czworokątów.
autor: Pinionrzek
8 sie 2016, o 17:18
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Środek okręgu
Odpowiedzi: 20
Odsłony: 835

Środek okręgu

\(\displaystyle{ AF+BF=AB, \ AE+CE=AC}\).
autor: Pinionrzek
8 sie 2016, o 17:00
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Środek okręgu
Odpowiedzi: 20
Odsłony: 835

Środek okręgu

Symetria jest izometrią, więc \(\displaystyle{ EF=E'F'}\). Ponadto \(\displaystyle{ AE=AE', \ AF=AF'}\), więc \(\displaystyle{ obwód \triangle ABC=BF+AF+AE+CE+BC=BF+AE'+AF'+CE+BC=BE'+AE'+AF'+CF'+BC}\), skąd \(\displaystyle{ BE'+CF'=BF+CE=E'F'}\).
autor: Pinionrzek
8 sie 2016, o 16:45
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Środek okręgu
Odpowiedzi: 20
Odsłony: 835

Środek okręgu

To pierwsze wynika z tego, że \(\displaystyle{ BF+CE=EF=E'F'}\) oraz \(\displaystyle{ E'F=F'E}\), a to drugie wynika z tego, że właśnie \(\displaystyle{ E'F'=BE'+CF'}\).
autor: Pinionrzek
8 sie 2016, o 13:44
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Środek okręgu
Odpowiedzi: 20
Odsłony: 835

Środek okręgu

Definiujemy E', \ F' jako odbicia punktów E, \ F względem dwusiecznej \angle BAC . Skoro mieliśmy EF=CE+BF , to E'F'=BE'+CF' , gdyż EF'=FE' . Obieramy na E'F' punkt I , taki, że BE'=IE' . Ponieważ \angle AE'F'=\angle AEF=\angle ABC , czyli E'F' \parallel BC . Ponadto \triangle E'BI jest równoramienn...