Matematyka.pl

Chciałem zapytać, czy jeśli moją hipotezą zerową jest: \(\displaystyle{ H_0: \mu \neq 1}\)
To wówczas za hipotezę alternatywną przyjmiemy \(\displaystyle{ H_0: \mu = 1}\) i zbiór krytyczny to
\(\displaystyle{ Z = (z_{\frac{1}{2} - \frac{\alpha}{2}}, z_{\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{2}})}\)?

Odświeżam stary temat, bo nie rozumiem jednego przejścia, mianowicie:
\(\displaystyle{ P(X_{t+h}-X_t=k,X_s=n)=P(X_{t+h}-X_t=k,X_s-X_{t+h}=n-k)}\)

Czy ono jest na pewno poprawne?

To może tak:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X_2=\mathbb{E}\left( \mathbb{E}X_2 | X_1\right)=\mathbb{E}X_1}\)

Czyli dobrze rozumiem, że najpierw korzystamy z warunkowej wartości oczekiwanej, a później z definicji martyngału?

Niech \(\displaystyle{ (X_n)}\) będzie martyngałem.
Pokaż, że
\(\displaystyle{ EX_1 = EX_2 = ...}\)

Nie wiem za bardzo od czego wyjść, żeby ten dowód był w pełni poprawny.

Czy przykład jest dobrze przepisany, bo podana funkcja gęstości chyba nie może być gęstością, bo się do 1 nie całkuje.

Jaki jest rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = XY}\), jeśli:

\(\displaystyle{ X,Y - i.i.d}\)
\(\displaystyle{ f_X(x) = \frac{2}{\pi(x^2+4)}}\)

Chciałbym odświeżyć ten temat, jak powinno wyglądać prawidłowe rozwiązanie?
Nie wiem jak postąpić w przypadku zmiennej losowej, która przyjmuje zarówno dodatnie jak i ujemne wartości.

Faktycznie masz rację.
Wracając do zadania przeze mnie podanego mogę uzyskać dwa warianty odpowiedzi:
1. \(\displaystyle{ f_{X}(x) = 2(1-x)}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = 2}\)

2. \(\displaystyle{ f_{X}(x) = 2}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = 2(1-y)}\)

Czyli rozumiem, że obie odpowiedzi są poprawne?

Niech gęstość łączną wektora losowego to \(\displaystyle{ f(x,y)=2}\) określoną na trójkącie o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,0), (1,0), (0,1)}\).
Oblicz gęstości brzegowe.

No ale jak obojętnie, nie uzyskam wówczas tych samych wyników, biorąc pierwszy, to
\(\displaystyle{ f_X(x)}\) bedzie funkcja zmiennej x, zaś \(\displaystyle{ f_Y(y)}\) bedzie stale,
a jakbym wzial druga opcje, to byloby odwrotnie, przeciez chyba tak nie moze byc, te gestosci brzegowe powinny byc jednoznacznie wyznaczone.

Dajmy na to, że mam podaną gęstość łączoną wektora losowego, która jest określona na: x \in [0,1] oraz y \in [x, 1] Ten sam można oznaczyć jako: x \in [y,1] oraz y \in [0, 1] Wiem, że wzór na gęstość brzegową zmiennej losowej X, to: f_{X}(x) = \int_{y}^{} f(x,y) dy Pytanie mam takie: Po jakim obszar...

Chcę wyznaczyć rozkład łączny zmiennej losowej max(X,Y) oraz min(X,Y), gdzie X i Y są zmiennymi niezależnymi. Czy moje poniższe rozwiązanie jest poprawne? Zaczynam od dystrybuanty: F_{max(X,Y) ,min(X,Y)} (z,w) = P( max(X,Y) \leq z, min(X,Y) \leq w ) Rozpatruję dwa przypadki: 1. z>w: P( max(X,Y) \leq...

Widzę, że policzenie jest trudne, zatem jak mogę pokazać zbieżność?

nieparzystych, bo funkcja podcałkowa wówczas jest nieparzysta, tylko trzeba pokazać, że taka całka jest w ogóle zbieżna, czyli i tak muszę umieć ją policzyć.

Mam do policzenia następującą całkę :
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}}\), gdzie k jest liczbą naturalną.
Pomoże mi ona uzyskać k-ty moment rzędu dla zmiennej losowej o rozkładzie \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Wiem, że wyniki są różne ze względu na parzystość k, ale nie wiem jak ruszyć tę całkę.