Matematyka.pl

Znajdź ekstremale funkcjonału:

\(\displaystyle{ F(u)= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}}\left( 27ue^{-3x}+\frac{81}{2}u^2-\frac{1}{2}(u'')^2\right) dx}\)

Uzyskana przeze mnie funkcja \(\displaystyle{ u(x)}\) wynosi:

\(\displaystyle{ u(x)=-\frac{1}{4}e^{-3x}x+c_1e^{-3x}+c_2\cos(3x)+c_3\sin(3x)+c_4e^{3x}}\)

Czy to prawidłowy wynik? Proszę o sprawdzenie.

Chciałem się tylko upewnić, czy robię to dobrą metodą. Dzięki.

Rozwiąż równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ 27e^{-3x}+81u-u^{(4)}=0}\)

arek1357 pisze: a po rozdzieleniu zmiennych otrzymasz:

\(\displaystyle{ \sqrt{C} \frac{du}{ \sqrt{u-C} }=dx}\)

Dalej sobie poradzisz...

Właśnie z tym mam problem... Proszę o przedstawienie dalszej części obliczeń.

Znajdź ekstremale funkcjonału:

\(\displaystyle{ F(u)= \int_{-4}^{4} \sqrt{u(1+u'^2)}\:dx \\
u(-4)=5 \\
u(4)=5}\)

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego:

\(\displaystyle{ x'=\frac{x+t}{xt} \\
x(1) = 2 \\
1 \le t \le 2}\)

A mógłby Pan przedstawić metodę, jaką uzyskał Pan ten wynik?

janusz47 pisze:
\(\displaystyle{ ydy +\frac{2}{3}x dx =0.}\)

Jakie krzywe są trajektoriami ortogonalnymi do rodziny krzywych \(\displaystyle{ y^2 =c\cdot x^3?}\)

Po scałkowaniu otrzymałem wynik:
\(\displaystyle{ c=\frac{y^2}{2}+\frac{x^2}{3}}\)

To prawidłowa odpowiedź, czy może zapisać to w postaci:
\(\displaystyle{ y= \pm \sqrt{\frac{2}{3}x+c}}\)

Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny krzywych: y^2=cx^3 Chcąc rozwiązać to zadanie zaczynam od spierwiastkowania y -ka, czy nie muszę tego zrobić? Licząc po spierwiastkowaniu y=cx^{\frac{3}{2} otrzymałem, że: \frac{3y^2}{2}+x^2=c Licząc bez pierwiastkowania y : y^3+x^2=c Który...

Z moich obliczeń wynika, że:
\(\displaystyle{ t=(1-z)^{-2}\cdot (\frac{1}{1-z}-\ln(z-1)+\ln(z)+c)}\)

Dobrze to policzyłem? Co dalej?

Przechodzimy teraz do równania zmiennej t:

\(\displaystyle{ 2tz+1=t'(z-z^2)}\)

Mógłbyś wytłumaczyć mi to przejście?

Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania Lagrange'a, nie mam pojęcia jak się za to zabrać.

\(\displaystyle{ x=t(x')^2+x'}\)

A jeśli chodzi o wynik, to zostawić go w postaci uwikłanej, czy można go jeszcze jakoś bardziej wyprowadzić?

Najpierw liczę pochodną:
\(\displaystyle{ t=x+y}\)
\(\displaystyle{ y=t-x}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=-1+\frac{dt}{dx}}\)

No i finalnie dostaję:

\(\displaystyle{ -1+\frac{dt}{dx}=\frac{t-1}{t+1}}\)

To mogę w takim razie prosić o przedstawienie obliczeń? Taki wynik otrzymałem z równania, które podałem, po podstawieniu \(\displaystyle{ t=x+y}\)