Matematyka.pl

Małe pytanie: jak masz zdefiniowaną całkę krzywoliniową? Bo często definiuje się ją właśnie przy pomocy tego wzoru. Drugą możliwością jest zdefiniowanie jej przy pomocy sum Riemanna (analogicznie jak dla zwykłych całek oznaczonych). Tutaj krótki szkic: Jak definiujemy całkę Riemanna z funkcji f\colo...

Pomysł z tw. Jordana jest ciekawy (ale nie mam teraz pomysłu, jak go dokończyć), ale można prościej. Na pewno trzeba jakoś zaangażować np. wartości własne, bo to samo twierdzenie dla \mbox{GL}_n\left( \RR \right) nie zachodzi (co łatwo widać, jak rozpatrzy się obraz tej ostatniej przez funkcję \det ...

Takie fajne zadanko: udowodnić, że grupa \mbox{GL}_n\left( \CC \right) z naturalną topologią* jest łukowo spójną przestrzenią topologiczną. Autorowi rozwiązania istotnie krótszego od mojego stawiam piwo/kawę/herbatę** * tzn. utożsamiamy macierze n\times n z wektorami w \CC^{n^2} i rozważamy na \mbox...

Idea w dobra, ale jest to mało po polsku i jest pewna usterka. Tutaj jest to samo, ale rozpisane dobrze (aż za bardzo szczegółowo): Ustalmy d\in\ZZ takie, że d|c i d|a . Skoro d|c i c|a to z przechodniości relacji podzielności wynika, że d|a . Skoro d|a i d|b , to również d|\mbox{NWD}(a,b)=1 (z defi...

Wskazówka: ustal \(\displaystyle{ d\in\ZZ}\) takie, że \(\displaystyle{ d|c}\) i \(\displaystyle{ d|b}\) (to zazwyczaj jest pierwszy odruch jeśli w tezie jest \(\displaystyle{ \mbox{NWD}(...)=1}\))

Pytanie w jakiś sposób związane z poprzednim: rozważmy pierścień \(\displaystyle{ R=\CC \left[ x,y,z \right]}\) oraz \(\displaystyle{ R}\)-moduł \(\displaystyle{ M=\CC\left( x,y,z \right)}\). Ile wynosi wymiar projektywny (tj. długość najkrótszej rezolwenty projektywnej) \(\displaystyle{ M}\)?

Żeby rozruszać quiz: pewnie to zdanie jest niezależne od ZF. Łatwo widać, że nie jest dowodliwe w ZF (bo jego zaprzeczenie jest dowodliwe w ZFC, a nawet w czymś słabszym), w drugą stronę nie wiem, nie umiem znaleźć żadnego modelu, w którym to zdanie byłoby spełnione . Autorem szukanej pracy jest pew...

Dodatkowo zarówno Scholze jak i Tao zostali profesorami (full professor) w wieku 24 lat (ciekawa zbieżność). Spektralny wypowiedział się kiedyś na ten temat: https://www.matematyka.pl/352871.htm#p5179003 Nie ma też co ukrywać, że Uniwersytet w Bonn i związany z nim Max-Planck-Institut für Mathematik...

było to już przynajmniej o 12:30. Swoją drogą czekam na swój kosz łakoci

Ostatni laureat to Akshay Venkatesh.

Pierwszym jest Caucher Birkar, Figalli został ogłoszony jako drugi.

EDIT: Jako trzeci Peter Scholze, tak jest!

Google twierdzi, że ogłoszenie wyników jest o 13:30, więc też się dołączę: Peter Scholze.

Konkretniej: jest monotoniczna na dowolnym przedziale zawartym w jej dziedzinie. Do dowodu tego faktu korzysta się z/można użyć twierdzenia Darboux i stąd się to bierze.

A mówiąc jeszcze prościej, wielomian x^n-y^n jest wielomianem n-tego stopnia względem x. Jest on podzielny przez x-y wtedy i tylko wtedy, gdy ma pierwiastek x=y Z tego drugiego zdania trzeba się usprawiedliwić, bo ta równoważność nie jest oczywista (tzn. jest prosta, ale wypadałoby dopowiedzieć, dl...

Zasadniczo się da bez indukcji. Poniższe rozumowanie da się też zapisać w języku licealnym, ale po co: Pamiętamy, że mamy izomorfizm K\left[ x,y \right] \cong \left( K\left[ x\right] \right)\left[ y \right] . Rozważamy wielomian P \left( y \right) =x^n-y^n nad K\left[ x\right] . Jego pierwiastkiem j...