Matematyka.pl

Wskazówka: Dobierz parametry \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ u}\) tak, aby ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) dany wzorem \(\displaystyle{ b_n=a_n+n^2+tn+u}\) spełniał rekurencję Fibonacciego.

Tak, bo dowodzimy przez kontrapozycję. Zakładając, że \(\displaystyle{ n}\) nie jest potęgą dwójki, dostajemy, że liczba \(\displaystyle{ 2^n+1}\) jest złożona.

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ n}\) nie jest potęgą dwójki, a więc ma pewien dzielnik nieparzysty \(\displaystyle{ p>1}\). Spróbuj wykorzystać wzór na rozkład \(\displaystyle{ a^p+b^p}\), aby uzasadnić, że liczba \(\displaystyle{ 2^n+1}\) nie może być wtedy liczbą pierwszą.

Tak, to pokazuje, że hipoteza 2 jest (formalnie) silniejsza niż otwarty (i bardzo trudny) problem KMP \Rightarrow RNP. Można jednak zadać pytanie, czy jest istotnie silniejsza; innymi słowy: Pytanie 1 (wersja globalna). Przypuśćmy, że KMP \Rightarrow RNP czyli, że każda przestrzeń Banacha bez własno...

Swego czasu Spektralny proponował uruchomienie na Forum czegoś w rodzaju projektu PolyMath , co miałoby na celu rozwiązywanie wybranego problemu otwartego poprzez dyskusje w grupie, i co - być może - skutkowałoby powstaniem wspólnej publikacji. O założeniach tego pomysłu można więcej przeczytać tuta...

Świetny przykład. Właśnie sobie zdałem sprawę, że aby uzyskać przestrzeń spełniającą (a)-(c) wystarczy tylko nieco "poprawić" przestrzeń Jamesa \mathcal{JT} biorąc X=c_0\oplus\mathcal{JT} . (Warunki (a) i (b) zachodzą z tych samych powodów, co dla \mathcal{JT} , natomiast (c) został wymusz...

Do dwóch twierdzeń przytoczonych przez Spektralnego warto dodać jeszcze wynik Odella i Rosenthala, który charakteryzuje interesującą nas sytuację w przypadku przestrzeni będącej drugim dualem przestrzeni ośrodkowej (zob. np. [J. Diestel, Sequences and series in Banach spaces , Springer-Verlag 1984; ...

Zbieżność po współrzędnych nie jest równoważna zbieżności w ogóle. Doprecyzowując, jeżeli (x_n)_{n=1}^\infty jest ograniczonym ciągiem elementów przestrzeni c_0 , to jest on zbieżny po współrzędnych do pewnego x\in c_0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny słabo do x . Oczywiście obydwa założenia: ...

Tak jest. Kula jednostkowa dowolnej izomorficznej kopii \ell_1 jest domknięciem otoczki wypukłej punktów silnie eksponowanych ( strongly exposed points ), które w szczególności są punktami ekstremalnymi. Być może ciekawe byłoby jednak pytanie o "elementarny" dowód faktu, że dowolne przenor...

W takim razie proponuję zadanie bonusowe: Czy da się równoważnie przenormować \(\displaystyle{ X}\) w ten sposób, by kula jednostkowa nie miała żadnych punktów ekstremalnych, przy czym:
(a) \(\displaystyle{ X=\ell_1}\),
(b) \(\displaystyle{ X=\ell_\infty}\)?

Wykaż, że istnieją 2 punkty odległe o co najwyżej 0.2. To stwierdzenie oznacza, że każde dwa punkty muszą być od siebie o tyle oddzielone, czy może nie? Nie. Oznacza to, co oznacza. Podejrzewamy po prostu, że teza, którą napisałeś, jest nieprawdziwa czyli, że da się tak rozmieścić 217 punktów w sze...

Zabawa polega na tym, że z jest uwikłane i dlatego stosujemy twierdzenie o funkcji uwikłanej. Gdyby dało się jawnie wyliczyć z za pomocą zmiennych x i y , to twierdzenie nie byłoby tu do niczego potrzebne. Przy odpowiednich założeniach (punkty (1) i (2)) twierdzenie o funkcji uwikłanej mówi jedynie,...

Chyba, że świadomie uznałeś, że wystąpi suma po zbiorze pustym, która będzie zerowa, co się pokrywa z naszym wzorem. Tak, taka suma po zbiorze pustym to z definicji zero. Wzór wyszedł koszmarny, a szkoda, bo zapis liczby w postaci ułamkowej był ładny. Jeżeli ktoś ma ochotę, to można jeszcze obliczy...

To ma być to rozwiązanie? Szkoda że jest całkowicie błędne... Zgadzam się - to jest właśnie problem, o którym pisałem na początku. Narzucająca się droga rozumowania oczywiście nie daje tezy z liczbą \frac{1}{5} . Jestem prawie pewien, że można tak rozmieścić 217 punktów, żeby odległość pomiędzy dow...

Użyj faktu, że D_4 reprezentuje się na dwa różne sposoby w postaci produktu półprostego, a mianowicie: D_4\cong\ZZ_4\rtimes\ZZ_2 oraz D_4\cong V_4\rtimes\ZZ_2 , gdzie V_4 jest grupą czwórkową Kleina. Niech r (obrót) i s (symetria) będą generatorami grupy D_4 , tak więc D_4=\langle r, s\colon r^4=s^...