Matematyka.pl

Załóżmy wpierw, że AB<AC Pokażemy, że \angle BXY= \angle ZXC . Z tw. sinusów dla \triangle BXY, \ \triangle CXZ wystarczy pokazać, że CZ \cdot \frac{\sin \angle ACX}{XZ}=YB \cdot \frac{\sin \angle XBY}{YX} czyli na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą: \frac{CZ}{YB}\cdot \frac {\sin \a...

Wrzucę jeszcze swoje rozwiązanie x^3+y^3 \le 2 \cdot \frac{x^3}{2}+\frac{y^2+y^4}{2} \le \frac{x^2+y^2}{2}+\frac{x^3+y^3}{2} . Czyli oznaczając a=x^2+y^2 oraz b=x^3+y^3 mamy a \ge b . Z drugiej strony z nierówności pomiędzy średnimi potęgowymi dostajemy \sqrt[3]{\frac{b}{2}} \ge \sqrt{\frac{a}{2}} \...

Rzeczywistych dodatnich, przepraszam bardzo

Pokazać, że dla liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x, \ y}\) spełniających nierówność \(\displaystyle{ x^2+y^3 \ge x^3+y^4}\) zachodzi: \(\displaystyle{ x^3+y^3 \le 2}\).

Zresztą, rekrutacja za granicę i tak kończy się przed wynikami oma.

#bogactwo

Nagrody xD. Mi wysłali wydrukowany dyplom i tyle .

Z drugiej strony (chociaż może to nie jest bardzo pocieszające) Jakub Ochnik zdobędzie wieczną sławę zwycięzcy OMa, który nie dostał się na IMO

Moim zdaniem finał byłby lepszy, gdyby dystrybucja wyglądała tak: 1-zadanie 2 (z finału) 2-zadanie 3 3-jakaś różnicująca algebra 4-zadanie 4 5-zadanie 6 6-zadanie 5 Utyqaq piąte było najmniej standardowe z tegorocznych zadań. Może samo w sobie nie jest bardzo trudne, ale wymagało niebanalnego pomysł...

Zapewne 25.

Jakby kogoś interesowało, to jest już lista :p

Zauważmy, że MC=MB , PB=QC oraz \angle PBM=\angle QCM , czyli \triangle PBM \equiv \triangle MQC , więc czworokąt APQM jest cykliczny. Oznacza to, że punkt M jest punktem Miquela czworoboku zupełnego wyznaczonego przez przecięcia prostych PB, \ BC, \ CQ, \ PQ , wnioskujemy stąd, że okręgi opisane n...

Łatwo zauważyć, że teza jest równoważna istnieniu takich liczb i < j < a , że 1+\frac{1}{2}+ \ldots+ \frac{1}{i}=\frac{1}{j}+\frac{1}{j+1}+\ldots+\frac{1}{a} . Widzimy, że a \ge 2j-1 ( \sum_{k=i}^{2j-1} \frac{1}{k}<j \frac{1}{j} ). Wybierzmy największą liczbę pierwszą p \in \{j,j+1,\ldots a\} , moż...

Dawno nic tutaj się nie pojawiło, może więc warto coś wrzucić:
Czy istnieje nieskończony ciąg liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1, \ p_2,\ldots, p_n, \ p_{n+1},\ldots}\) taki, że: \(\displaystyle{ |p_{n+1}-2p_n|=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)?

Oznaczmy przez \tau okrąg styczny do odcinków AB, \ AC oraz do okręgu \omega w punkcie K (leżącym po przeciwnej stronie BC niż T ) Niech prosta styczna w punkcie K od \omega przecina BC w N , z osi potęgowych NT jest styczna do \omega . Oznaczmy przez Q środek łuku BC okręgu o który zawiera T , a p...