Matematyka.pl

Równanie \(\displaystyle{ 2x^2 + 4xy + 3y^2 + 3x +2y +2 = 0}\) opisuje zbiór pusty.

Wskazówka: niech \(\displaystyle{ p}\) będzie prawdopodobieństwem, że drugi chłopiec też ma takie imię. Co teraz?

Dziedzina naturalna to coś innego niż przekrój dziedziny ze zbiorem liczb naturalnych: normalnie dziedzina jest elementem definicji funkcji, ale jeżeli została pominięta, to należy wskazać maksymalny podzbiór \mathbb R^2 , dla którego wzór ma sens.

A zatem, |y| \le 4 i x < 12 + 3y , co wypadałoby ...

Oznacza to, że podział odcinka na dwie części, z których jedna jest dwa razy dłuższa od drugiej, nie jest złotym podziałem. Jeżeli ustalisz, że a = \lambda b (możesz to zrobić, bo a,b są niezerowe), to dostaniesz:

\frac{b(\lambda +1)}{\lambda b} = \frac{\lambda b}{b} \implies \lambda + 1 = \lambda ...

Rzeczywiście, gdyby tam była równość, to oczywistość wynikania jest natychmiastowa. Mam trzecie wydanie z 2012 roku.

R. Engelking, Topologia ogólna, strona 25:

1.1.1. Twierdzenie. Dla każdego A\subset X następujące warunki są równoważne:
a) Punkt x należy do domknięcia A .
b) Dla każdej bazy \mathcal B(x) w punkcie x i każdego U\in\mathcal B(x) mamy U\cap A = \varnothing .
c) Dla pewnej bazy \mathcal B(x) w ...

Przepraszam, rano byłem nie do końca wyspany i chciałem jednocześnie zapisać prawo wyłączonego środka i podwójnej negacji: rozmawiamy o p \iff \neg \neg p . Na wstępie do matematyki nie mieliśmy ani klasycznego, ani intuicjonistycznego rachunku zdań, i chyba to jest źródło moich problemów - aby ...

Na wstępie do matematyki dowiadujemy się, że zdanie p \iff \neg p jest tautologią rachunku zdań. twierdzi jednak co innego: silne prawo jest niedowodliwe w intuistycznym rachunku zdań. To stwierdzenie jest dla mnie mocno nieintuicyjne, czy ktoś mógłby mi powiedzieć, co tak właściwie dzieje się w ...

Pamiętam, że niegdyś miałem w zakładkach, ale teraz nie mogę za nic w świecie znaleźć strony, na której dostępna była wyszukiwarka różnych przestrzeni topologicznych: po podaniu cech, które szukana przez nas przestrzeń powinna mieć (lub nie) i kliknięciu szukaj dostawaliśmy listę, które zawierała ...

Nie lepiej użyć reguły Cauchy'ego-Hadamarda? Jeżeli wyraz szeregu to \(\displaystyle{ a_n (z-1)^n}\), to liczymy:

\(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n] { \frac{3^{n}}{ \sqrt{\left( 3n-2\right)2^n }} }= \cdots}\)

Promień zbieżności to odwrotność tej granicy.

Rzeczywiście, pomyliło mi się z innym zadaniem - teraz jest to oczywiste. Jak jednak pokazać warunkową zbieżność poniższego szeregu?

\(\displaystyle{ \sum_{n\ge1} \sin(1/n) \cos(n)}\)

Rozbieżny, bo spróbowałbym go rozbić na dwa mniejsze: rozbieżny szereg harmoniczny i zbieżny \(\displaystyle{ \sum n^{-2}}\), z czego wnioskuję (kryterium o minorancie/majorancie), że szereg o wyrazach \(\displaystyle{ \sin (\pi/n)}\) jest rozbieżny.

Cóż, znam takie oszacowanie (dla wyrazów naszego szeregu):

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right) \le \sin (\pi/n) \le \pi/n}\)

Wykazać, że szereg jest zbieżny warunkowo:

\(\displaystyle{ \sum_{n\ge1}\cos\left(\pi n\right)\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\)

Korzystając z kryterium Dirichleta wiem, że jest zbieżny (bo kosinus ma ograniczone sumy częściowe, a sinus zbiega monotonicznie do zera). Jak pokazać, że nie jest zbieżny bezwzględnie?

Podać przykład niediagonalizowalnej macierzy \(\displaystyle{ A \in M_{2 \times 2} (\mathbb R)}\) takiej, że \(\displaystyle{ 3}\) jest jej wartością własną, zaś \(\displaystyle{ (1, -1)}\) wektorem własnym.