Matematyka.pl

Kurde, jak tak teraz patrzę, to rzeczywiście nie jestem w stanie wskazać n dla którego to by zachodziło. Z tymże gdy próbuję dowieść indukcyjnie tej nierówności, którą podałeś, to zacinam się w innym momencie dowodu, a mianowicie gdy trzeba pokazać, że \ln n + \frac{1}{n+1} \ge \ln (n+1) czyli \ln \...

Ta nierówność którą nazwałeś kluczową jest prawdziwa, prawdziwa jest też nierówność \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) \ge \frac{1}{n+1} i właśnie z tą drugą nierównością otrzymujemy sprzeczność gdy próbujemy indukcyjnie udowodnić nierówność taką jaką podałeś wcześniej. W dowodzie indukcyjnym nierówn...

Premislav pisze:Wskazówka do pierwszego: \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n} \ge \ln n}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\)...

Prawdziwa jest nierówność w drugą stronę.

EDIT:

A nie, jednak się pomyliłem, wyjaśnienie poniżej.

Podziel sobie tę sumę na sumę sum: Suma pierwszych 9 wyrazów dodać suma kolejnych 90, dodać suma kolejnych 900 wyrazów itd. Można zauważyć, że każda taka suma składowa posiada składnik najmniejszy, którego używamy w formie ograniczenia (przykładowo dla sumy pierwszych 9 elementów najmniejszy jest oc...

Spróbuj pozbyć się tych pierwiastków mnożąc przez sprzężenie, a następnie skorzystaj z kryterium zagęszczania.

Ojej, racja, nie zauważyłem, że tam jest suma, a nie zaś iloczyn dwóch logarytmów, przepraszam za zamieszanie.

Czy nie wystarczy zauważyć, że skoro \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności to \(\displaystyle{ n-k}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną stałą również dąży do nieskończoności? Mamy zwyczajnie logarytm o stałej podstawie z wyrażenia dążącego do \(\displaystyle{ +\infty}\) razy jakąś ujemną stałą i w takim przypadku chyba nie ma co dalej kombinować.

Gwoli formalności dodam, że przekształcenie jakie zastosowałeś w pierwszym poście jest błędne. Granica pierwotnego wyrażenia to istotnie jeden, ale granica tego co napisałeś później wynosi nieskończoność.

Od kiedy do liczenia granic ciągów możemy korzystać z reguły de l'Hospitala?

Dziękuję za odpowiedź prawdę mówiąc trochę mnie to zaskoczyło, zarówno na wykładach jak i na ćwiczeniach rozpatrywaliśmy liniową niezależność i generowanie jako dwa osobne warunki, tutaj zaś widzę, że sprawdzenie obu sprowadza się do tego samego. Cóż, może to dlatego, że jeszcze nie zajmowaliśmy się...

Czy jest możliwe, żeby dany zestaw n wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni o wymiarze n nie generował tej przestrzeni Sprawdzając warunek liniowej niezależności mnożę wektory przez dowolne skalary i przyrównuję do wektora zerowego, otrzymuję układ jednorodny z n niewiadomymi. Układ taki na pew...