Matematyka.pl

Na ile sposobów można przedstawić liczbę \(\displaystyle{ 3 ^{12}}\) w postaci \(\displaystyle{ a \cdot b \cdot c}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są naturalne oraz \(\displaystyle{ a< 3^{3}, b< 3^{7}, c<3^{7}}\)
Z czego się robi takie zadania ?
(jestem na pierwszym roku studiów)

Hej
Wynik się zgadza i rozumiem, Dziękuje !

Jak się w ogóle za to zabrać ?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1+ sin x}}\)

Ogromne Dzięki

Pokaż że ciąg określony wzorem rekurencyjnym dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \frac{ a_{n} + \frac{1}{a_{n} } }{2}}\)
jest zbieżny.
Jak to zrobić ? Jak próbuje udowodnić indukcyjnie że jest malejący, to otrzymuje \(\displaystyle{ a_{n}>1}\), ale nie umiem pokazać że to zawsze zachodzi...

Czy liczb podzielnych przez liczbę naturalną \(\displaystyle{ k}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) (łącznie z \(\displaystyle{ n}\)) jest dokładnie \(\displaystyle{ \left[ \frac{n}{k} \right]}\) ?

Witam, kiedyś na kółku słyszałem o o jakimś nierozwiązanym problemie z teorii grafów, którego to rozwiązanie przyniosłoby fortunę, jednak nie pamiętam o co chodziło dokładnie. Czy ktoś może kojarzy coś w tym rodzaju ? Możliwe że dotyczyło najkrótszych ścieżek Ps: Jeśli ktoś zna jakiekolwiek ciekawos...

No tak >.<
Dziękuje ślicznie !

Licznik mi coś nie wychodzi, gdzie popełniam błąd ? :
\(\displaystyle{ (1-e^{-x})' = 0 - e^{-x} \cdot \ln(e)=- e^{-x}}\)
i wtedy by wychodziło \(\displaystyle{ \frac{-1}{1}}\)

Obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{1- e^{-x} }{\sin x}}\)

Ok, wyszło

Obliczyć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 }- \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} }}\)

Ciągle mi nieoznaczone wychodzą;
Wolfram podpowiada że ma wyjść 1

Z góry ograniczyłem przez \(\displaystyle{ \frac{1}{ 2\sqrt{x} }}\)
Pykło, granica \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), Dziękuje

Yy a coś konkretniej co z tym zrobić ? Argument sinusa próbować dopasować ?

Oblicz granicę funkcji
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to + \infty } \sqrt{x+2} \cdot \sin ( \sqrt{x+1}- \sqrt{x} )}\)

Jakkolwiek bym się za to nie zabierał ciągle dostaje \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\)
Próbowałem też z \(\displaystyle{ \frac{\sin a}{a} \rightarrow 0}\)