Matematyka.pl

Czy ustalenie, że \(\displaystyle{ F(x)}\) jest jednostajnie zbieżny oznacza bezpośrednio jego ciągłość?

Wykazać, że \(\displaystyle{ F}\) jest ciągła na \(\displaystyle{ R}\) i znaleźć zbiór punktów różniczkowalności \(\displaystyle{ F}\).

\(\displaystyle{ F(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{3^n-1+x^2}}\) , \(\displaystyle{ x \in R}\)

I tak nie za bardzo wiem jak się za to zabrać:/

Wyliczyłem, że: a_{n}=1+ 2^{n-1}+ 3^{n-1} Z warunku R= \frac{1}{ \lim_{ x\to \infty } \left| \frac{a _{n+1} }{a _{n} } \right| } obliczam, że R= \frac{1}{3} Czy do tej pory jest wszystko ok? Jeśli tak to dalej z podpunktem a) już jest łatwo. A co teraz z podpunktem c) ? Czy wystarczy, że zbadam zbie...

Wyznaczyć wszystkie pary liczb \(\displaystyle{ a,b \in R}\) dla których granica:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0 } \frac{x-(a+b\cos (x))\sin (x)}{x^{5}}}\)

jest skończona.

Niech a_{0}=3 , a _{1} =6 , a_{2}=14 i a _{n+3}=6a _{n+2}-11a _{n+1}+6a _{n} dla n=0,1,2... Połóżmy: S(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a _{n}x ^{n} a) Wykazać, że szereg S(x) ma promień zbieżności R>0 , a funkcja S(x)(1-x)(1-2x)(1-3x) , gdzie x \in (-R,R) , jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznaczyć wsp...

Wyznacz wszystkie wartości \(\displaystyle{ c \in R}\) dla których zbieżna jest całka niewłaściwa:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{dx}{(lnx)^{c}(x^2-x)^{2c}}}\)

Pomoże ktoś? Nie wiem jak to ugryźć.

I jaką drogą było to dowodzone na tych zajęciach ?

Wykazać, że \(\displaystyle{ \tg (\sin x)>\sin (\tg x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{ \pi }{4}]}\).

Myślałem nad rozwinięciem tego w szereg Taylora, ale nie wiem co miałbym dalej z tym zrobić. Może jakieś wskazówki, pomysły?

Czy funkcja \(\displaystyle{ f(x)=cos(e ^{x})}\) jest jednostajnie ciągła na przedziale:
a) \(\displaystyle{ (- \infty , 0]}\)
b)\(\displaystyle{ [0, infty )}\)

Podejrzewam, że trzeba to zrobić z Lipschitza, ale nie wiem jak to zrobić

Zbadać monotoniczność ciągu x_{n} = \left( 1+ \frac{c}{n} \right) ^{n} w zależności od c , gdzie c \in R \setminus \left\{ 0\right\} . Chciałem określić znak pochodnej wykładnika funkcji f(x)=e ^{x\ln (1+ \frac{c}{x} ) , ale wyszło mi \ln \left( 1+\frac{c}{x} \right) - \frac{c}{c+x} i nie wiem za ba...

Ja rozumiem to w ten sposób, że jeżeli dim \phi(R ^{2})=1 to wiemy, że przekształcenie \phi przyporządkowuje wektorom przestrzeni R ^{2} jakieś punkty. W szczególności: \phi\left( \left( 1,0\right) \right) = \lambda \left( 1,0)\right \phi\left( \left( 0,1\right) \right) = \lambda \left( 0,1)\right S...

Niestety, trzeba zrobić to zadanie bez używania pochodnych, itp.

Niech \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}}\) będzie dowolnym szeregiem zbieżnym o wyrazach dodatnich. Czy szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sqrt{ a_{n} } }{\ln n} \left( n^{ a_{n} } -1\right)}\)

jest zbieżny? Uzasadnij odpowiedź.

Zrozumiałem, dzięki za pomoc