Matematyka.pl

Cześć!

Czy prawdą jest, że istnieje funkcjonał liniowy \(\displaystyle{ A:X \to \RR}\) ciągły i ograniczony taki, że \(\displaystyle{ X}\) jest unormowana ale nie jest przestrzenią Banacha ?

Dziękuję za pomoc.

novicjusz , cześć! Dobre pytanie. Należy takie zadawać. Oczywiście, nie należy tracić intuicji. Szereg to zawsze powinna być w głowie idea: "sumuje nieskończenie wiele wyrazów". Ale jak to teraz ugryźć matematycznie? Nie możemy tego tak zostawić, bo ta nieskończoność jakoś tak wszystko ps...

Gromu, a po co taką armatę tutaj dawać? Nie możesz po prostu skorzystać z reguły łańcucha?

Dualny91, ale nadal jakoś mnie to wszystko martwi. Wydaje mi się, że musielibyśmy cofnąć się daleko daleko, żeby dojść z tym do ładu. Niemniej, dzięki wielkie za pomoc! I za cierpliwość : )

Dualny91, za daleko w tym zaszliśmy. Muszę udać się do mojego profesora : )

Dualny91 , z normami jestem zaznajomiony dość dobrze. Już chyba powoli czuję, o co biega. Po prostu od początku mówię o dwóch, istotnie różnych pojęciach. Pochodzić od normy, to to samo co dawać tę samą topologię, którą daje norma. I to pojęcie jest, tak jak mówisz, czysto topologiczne. Zaś wyznacz...

Dualny91 , to już sprawdziłem i rzeczywiście tak jest. Zadanie zatem zostało zrealizowane. Podaliśmy ogólny dowód,a potem podaliśmy nawet ładny przykład. Ale nadal czuję, że czegoś nie do końca rozumiem w tej naszej ogólnej dyskusji odnośnie norm i metryk. Nie do końca potrafię pojąć to, że np. d_1...

Dualny91 , mówiąc indukuje mam na myśli, to, że wyznacza. Tak jak norma wyznacza metrykę wzorem d(x,y)=||x-y|| , tak metryka indukuje(wyznacza) normę wzorem ||x||=d(x,0) . Czyż nie tak się mówi ? PS: No, co do tej drugiej części, to nie do końca prawda. Jeszcze musi ta metryka być przesuwalna i mus...

Gromu, reguła łańcucha po prostu : )

Dualny91 , nadal to nie odpowiada na moje pytanie. To co napisałeś wyżej traktuje jako taką pseudo "przechodniość" pochodzenia od normy. Ale ja pytałem o co innego. Dlaczego w przestrzeni liniowo metrycznej (X,d) , gdzie d jest równoważna metryce pochodzącej od normy || \cdot || da się wy...

Waszok, cześć! To o czym mówisz szerzej znane jest jako: kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu. Znajdziesz mnóstwo dowodów w sieci. Najlepiej po angielsku. Wpisz w googlu: Cauchy condensation test proof

Pozdrawiam

Dualny91 , to ostatnie, o co Ciebie proszę, to powiedzenie czegoś więcej o tej "normowości". PS: I skąd wiesz, że te metryki, które wymieniłeś pochodzą od pewnych norm? Czyli innymi słowy skąd wiesz, ze topologia wyznaczana przez te metryki pokrywa się z topologią wyznaczoną przez pewną n...

Dualny91 , jakoś to mi się kłóci. Z jednej strony, tak jakby się cofam, i mówię: aha, jest jakaś norma, która daje tę samą topologię, co dana metryka d_1 . Z drugiej strony zaś, nie mogę już z tej metryki wyprodukować żadnej normy. Nadal czegoś tutaj nie czuję. Czyli, gdy wyjściowa przestrzeń linio...

Dualny91, więc \(\displaystyle{ d_1}\) nie indukuje normy(w sensie: nie mogę z niej wyprodukować normy wzorkiem \(\displaystyle{ d_1(x,y)=||x-y||}\)), jednak istnieje pewna norma, która daje taką samą topologię, co \(\displaystyle{ d_1}\) i w tym konkretnym przypadku jest to norma euklidesowa. Dobrze mówię?

Dualny91, to trochę się pogubiłem w takim razie. To w końcu metryka \(\displaystyle{ d_1}\) pochodzi od normy czy nie?