Matematyka.pl

Powiedzcie mi jak się oblicza wyrażenia jak poniżej. Mam do obliczenia 3 takie wyrażenia:
Chodzi mi o schemat algorytmu rozwiązania tego

Ahh, rozumiem, Dzięki. Ale trzeba jeszcze założyć, że punkty \(\displaystyle{ z_1}\), \(\displaystyle{ z_2}\) i \(\displaystyle{ z_3}\) są parami różne Ale wiadomo o co chodzi.

No pewnie że tak. Ja próbowałem to z innej strony ugryźć i rozpisałem tą równość jako:

1+\cos t - i \sin t = 1 + \cos t - i \tan \frac{t}{2} - i \tan\frac{t}{2} \cos t

Po skróceniu co się da:

\tan \frac{t}{2} = -\frac{i \sin t}{1 + \cos t} .

Tylko, że takiego wzorku nigdzie nie mogłem znaleźć ...

Pokazać, że obraz okręgu |z-1|=1 poprzez inwersję w=\frac{1}{z} zadany jest przez

w(z)=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\tan\left(\frac{t}{2}\right)
Moje obliczenia są takie do tej pory:

Najpierw sparametryzujmy okrąg: z(t) = 1 + e^{it}
Następnie

w(t) = \frac{1}{z(t)} = \frac{1}{1 + e^{it}} = \frac{1 ...

Jeśli Cię dobrze rozumiem: Mając M(z_1) , M(z_2) i M(z_3) jak poniżej:

M(z_1) = \frac{az_1 + b}{cz_1 + d} \qquad M(z_2) = \frac{az_2 + b}{cz_2 + d} \qquad M(z_3) = \frac{az_3 + b}{cz_3 + d}
To teraz wszystkie trzy równania muszę podzielić przez ten sam czynnik, weźmy a :

M(z_1) = \frac{z_1 ...

Mam takie zadanie, którego nie potrafię zrobić:

Wykaż, że tylko trzy liczby zespolone są konieczne dla konkretnej transformacji Möbiusa \(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+d}}\).

a4karo pisze:to drugie \(\displaystyle{ \frac{ac}{bc}}\)

A nie przypadkiem \(\displaystyle{ \frac{a}{bc}}\)? Literówka czy ja tu czegoś nie widzę?

A jak się wykazuje, że opiszemy je wszystkie? Bo zakładam, że wszystkie możemy je w ten sposób opisać, tak?

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ |z - 1| = 1}\) na płaszczyźnie zespolonej.

Pokazać, że okrąg ten można sparametryzować jako \(\displaystyle{ z(t) = e^{it} + 1}\).

Nie mam pomysłu jak zacząć. Pomożecie?

Definiujemy normę ||.||_w \colon C[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} następująco
||f||_w = \sqrt{\int_0^1e^xf^2(x)dx}
Udowodnić, że (C[0, 1], ||.||_w) jest unormowaną przestrzenią wektorową.

Pokazałem już, że ||f||_w \geq 0 dla dowolnej f \in C[0, 1] oraz, że ||f||_w = 0 tylko dla funkcji zerowej ...

Chyba rozumiem. A jeśli wziąłbym taką funkcję to też będzie dobrze?

f_n(x) = x^n dla x \in [0, 1], n \geq 1
Wtedy dla dowolnego n \geq 1 mamy f_n(0) = 0 i f_n(1) = 1 . Zatem należą one do G . I wówczas

\int_0^1|f_n(x)|dx = \int_0^1|x^n|dx = \int_0^1x^ndx = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 ...

Niech dany będzie zbiór
G = \{f \in C[0, 1] \colon ||f||_{\sup } = 1\}
funkcji ciągłych na przedziale [0, 1] w przestrzeni unormowanej z zadaną normą

||f||_{\sup } = \sup \{|f(x)| \colon x \in [0, 1]\}
Pokazać, że zbiór G nie jest zamknięty w przestrzeni metrycznej
(C[0, 1], ||.||_1) gdzie ||f ...

Aaaa dzięki no to teraz rozumiem

Ok zrobiłem jak radziłeś. Najpierw |a| | |\langle a, b\rangle| , |b| | |\langle a, b\rangle| i musi być też, że |\langle a, b\rangle| | |G| . To rozumiem, te własności spełniają tylko dwie liczby: 50 i 250 .

Tylko małe pytanko na koniec. Dlaczego odpowiedzią są właśnie dwie liczby a nie jedna? Czy ...

No dobra, wiem że b ma rząd 10 bo to jest bezpośrednio w zadaniu podane i 10\nmid 25 . Ale jest też polecenie "Co można wywnioskować z twierdzenia Lagrange'a o rzędzie tej podgrupy?" Skoro rząd podgrupy dzieli rząd grupy to wiem, że kandydatami są wszystkie dodatnie dzielniki 250 czyli

1, 2, 5, 10 ...