Wyznaczanie macierzy odwrotnej
Odwracalność macierzyGdy pomnożymy macierz kwadratową stopnia n przez macierz do niej odwrotną, otrzymamy macierz jednostkową stopnia n. Nie dla wszystkich macierzy jednak istnieje element odwrotny. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego aby macierz była odwracalna jest niezerowość jej wyznacznika.
Wyznaczanie macierzy odwrotnej:
Istnieją dwie metody znajdowania macierzy odwrotnej do danej. Pierwsza z nich być może trochę bardziej uciążliwa, polega na znalezieniu macierzy dopełnień algebraicznych, transponowania jej i pomnożenia przez odwrotność wyznacznika.
Macierz dopełnień algebraicznych
Dopełnienie algebraiczne \(\displaystyle{ A_{ij}}\) elementu \(\displaystyle{ a_{ij}}\) macierzy kwadratowej stopnia n otrzymujemy mnożąc wyznacznik macierzy otrzymanej przez skreślenie i-tego wierza i j-tej kolumny z wyjściowej macierzy przez \(\displaystyle{ (-1)^{i+j}}\).
Macierz dopełnień algebraicznych składa się z otrzymanych w powyższy sposób elementów.
PRZYKŁAD 1. Wyznaczyć macierz dopełnień algebraicznych macierzy
\(\displaystyle{ (a_{ij})=\begin{bmatrix} 1&2&1\\2&5&2\\1&2&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A_{11}=(-1)^{1+1}*\begin{vmatrix} 5&2\\2&1\end{vmatrix} =1*(5-4)=1}\)
\(\displaystyle{ A_{12}=(-1)^{1+2}*\begin{vmatrix} 2&2\\1&1\end{vmatrix}=-1*0=0}\)
\(\displaystyle{ A_{13}=1*\begin{vmatrix} 2&5\\1&2\end{vmatrix}}\) =-1
\(\displaystyle{ A_{21}=0}\)
\(\displaystyle{ A_{22}=0}\)
\(\displaystyle{ A_{23}=0}\)
\(\displaystyle{ A_{31}=-1}\)
\(\displaystyle{ A_{32}=0}\)
\(\displaystyle{ A_{33}=1}\)
\(\displaystyle{ (A_{ij})=\begin{bmatrix} 1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1\end{bmatrix}}\)
PRZYKŁAD 2. Wyznaczyć, jeśli istnieje, macierz odwrotną do danej:
\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} -1&0&1\\-4&3&-1\\3&-1&-1\end{bmatrix}}\)
Zaczynamy zawsze od sprawdzenia czy macierz B jest odwracalna, czyli od policzenia wyznacznika:
\(\displaystyle{ det(B)=-1*(3-(-1))+0+1*(4-9)=-1}\)
Wiedząc, że macierz jest odwracalna, wyznaczamy macierz dopełnień algebraicznych:
\(\displaystyle{ B^{d}_{11}=-4}\)
\(\displaystyle{ B^{d}_{12}=-7}\)
\(\displaystyle{ B^{d}_{13}=-5}\)
\(\displaystyle{ B^{d}_{21}=-1}\)
\(\displaystyle{ B^{d}_{22}=-2}\)
\(\displaystyle{ B^{d}_{23}=-1}\)
\(\displaystyle{ B^{d}_{31}=-3}\)
\(\displaystyle{ B^{d}_{32}=-5}\)
\(\displaystyle{ B^{d}_{33}=-3}\)
Następnie dokonujemy na niej transopzycji:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -4&-1&-3\\-7&-2&-5\\-5&-1&-3\end{bmatrix}}\)
I mnożymy tak powstałą macierz przez odwrotność policzonego wcześniej wyznacznika, otrzymując poszukiwaną macierz odwrotną:
\(\displaystyle{ B^{-1}=\begin{bmatrix} 4&1&3\\7&2&5\\5&1&3\end{bmatrix}}\)
Metoda eliminacji Gaussa-Jordana
Drugi sposób to metoda eliminacji Gaussa-Jordana. Polega ona na jednoczesnym wykonywaniu tych samych operacji elementarnych na macierzy A, której odwrotność chcemy znaleźć i macierzy jednostkowej. Za ich pomocą chcemy z macierzy A otrzymać macierz jednostkową. Wtedy macierz uzyskana z macierzy jednostkowej będzie poszukiwaną macierzą odwrotną.
PRZYKŁAD 3. Znaleźć macierz odwrotną metodą eliminacji Gaussa-Jordana:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1&0&2\\4&3&5\\1&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&2\\4&3&5\\1&0&1\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W1 \rightarrow W1-W3}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0&1\\4&3&5\\1&0&1\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W3 \rightarrow W3-W1}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0&1\\4&3&5\\1&0&0\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\-1&0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W2 \rightarrow W2-4W3}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0&1\\0&3&5\\1&0&0\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&-1\\4&1&-8\\-1&0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W2 \rightarrow W2-5W1}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0&1\\0&3&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&-1\\-1&1&-3\\-1&0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W3\leftrightarrow W1}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1&0&2\\-1&1&-3\\1&0&-1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W2->\frac{1}{3}W2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1&0&2\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&-1\\1&0&-1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix}-1&0&2\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&-1\\1&0&-1\end{bmatrix}}\)
Macierz odwrotną macierzy 2x2 możemy łatwo wyznaczyć za pomocą wzoru:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}\)