Matematyka.pl

Zadanie
Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f \left( xf \left( y\right) +x \right) = xy + f \left( x\right) .}\)

Rozwiązanie
Jeśli \(\displaystyle{ x=1}\), to \(\displaystyle{ f \left( f \left( y\right) + 1\right) = y+ f \left( 1\right)}\) dla \(\displaystyle{ y \in \RR}\), tj. \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem „na”, czyli istnieje \(\displaystyle{ x_0}\) takie, że \(\displaystyle{ f \left( x_0\right) = -1.}\)

Jeśli więc \(\displaystyle{ y=x_0}\), to \(\displaystyle{ f \left( 0\right) = xx_0 + f \left( x\right)}\) tj. \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją liniową. Podstawiając \(\displaystyle{ f \left( x\right) = ax+b}\) do wyjściowego równania mamy rozwiązania: \(\displaystyle{ f \left( x\right) = x}\) lub \(\displaystyle{ f \left( x\right) = -x.}\)


Zadanie
Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}}\) takie, że \(\displaystyle{ 19f \left( x \right) - 17f \left( f \left( x\right)\right) = 2x}\), gdy \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}.}\)

Rozwiązanie
Jeśli \(\displaystyle{ g \left( x\right) = x - f \left( x\right)}\), to \(\displaystyle{ g \left( f \left( x\right)\right) = \frac{2}{17}g \left( x\right)}\). tj.

\(\displaystyle{ 17^n g \left( f^{ \left( n\right) } \left( x\right)\right) =2^n g \left( x\right)}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,…}\); (indukcyjnie) przy czym \(\displaystyle{ f^{ \left( n\right) } = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n}.}\)

Stąd \(\displaystyle{ g \left( x\right) =0}\) (jeśli \(\displaystyle{ g \left( f^{ \left( n\right) } \left( x\right) \right)=0}\), to \(\displaystyle{ g \left( x\right) =0}\) ). Zatem \(\displaystyle{ f \left( x\right) =x}\) jest jedynym rozwiązaniem.

Uwagi: Jeśli to samo równanie rozważyć dla funkcji rzeczywistej (tj. o dziedzinie \(\displaystyle{ \RR}\)) to istnieje też inne rozwiązanie: \(\displaystyle{ f \left( x \right) = - \frac{2}{17}x}\)


Zadanie
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f: \RR\to \RR}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ f \left( x-1\right) + f \left( x+1\right) = \sqrt{2}f \left( x\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to jest okresowa.

Rozwiązanie
Mnożąc równanie przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) mamy \(\displaystyle{ \sqrt{2}f \left( x-1\right) + \sqrt{2}f \left(x+1\right) = 2f \left( x\right)}\), czyli \(\displaystyle{ f \left( x-2 \right) + f \left( x\right) + f \left( x\right) + f \left( x+2\right) = 2f \left( x\right)}\)
tj.
(*) \(\displaystyle{ f \left( x-2\right) =- f \left( x+2\right) .}\)

Z tego zaś wynika, że \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa i ma okres \(\displaystyle{ s= 8}\), gdyż \(\displaystyle{ f \left( x+2\right) =-f \left( x+6\right) .}\)


Zadanie
Wyznaczyć funkcję \(\displaystyle{ f: \left( -1, +\infty\right)\to \RR}\) taką, że \(\displaystyle{ 1+f \left( x\right) = f \left( \frac{-x}{x+1}\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \geq 0.}\)

Rozwiązanie
Taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie istnieje. Jeśli bowiem \(\displaystyle{ x>-1}\) to \(\displaystyle{ \frac{-x}{x+1} = -1+\frac{1}{x+1} >-1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ - \frac{-x}{x+1}}{\frac{-x}{x+1} +1} =x}\), to \(\displaystyle{ 1+ f \left( \frac{-x}{x+1}\right) = f \left( x\right)}\) tj. sprzeczność.


Do rozwiązywania samemu

Zadanie
Wyznaczyć funkcje różnowartościowe, dla których \(\displaystyle{ f \left( f \left( x\right) + y\right) = f \left( x+y\right) +1}\) jeśli \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)

Zadanie
Dla jakich wielomianów \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ P \left( Q \left( x\right)\right) = Q \left( P \left( x\right)\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ?

Zadanie
Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f : \NN \to \NN}\) taka, że \(\displaystyle{ f \left( f \left( n\right)\right) = n+1}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) ?


Źródło podstawowe: Titu Andreescu - Functional equations
inne-funkcje-ogolne-wlasnosci-f48/rowna ... tml#p70919

Jest jeszcze ta książka - coś w rodzaju klasyka.

Przykład
Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f: \NN \to \NN}\) taka, że \(\displaystyle{ f( f(n))=n^2 }\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN.}\)


Rozwiązanie
Taką funkcję można określić poprzez ciąg \(\displaystyle{ n_1=2, n_2=3, n_3=5,... }\) liczb, ktore nie są kwadratami liczb całkowitych.
Jeśli \(\displaystyle{ n_{k,m} = (n_k)^{2^m}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,...}\) oraz \(\displaystyle{ m=0,1,2,...,}\) to dowolne \(\displaystyle{ n>1}\) jest w formie \(\displaystyle{ n=n_{k,m} }\) dla jakichś \(\displaystyle{ k,m}\).

Wtedy f jest określona następująco:
\(\displaystyle{ f(n_{k,m})= n_{k+1,m}}\) gdy \(\displaystyle{ k }\) jest nieparzyste,
\(\displaystyle{ f(n_{k,m})= n_{k-1,m+1}}\) gdy \(\displaystyle{ k}\) jest parzyste,
\(\displaystyle{ f(1)=1}\).

Przykład
\(\displaystyle{ n=16 = n_{1,2}}\)
\(\displaystyle{ f(16)= n_{2,2} = 3^8}\)
\(\displaystyle{ f(n_{2,2})=n_{1,3}= 2^8 =n^2}\)

Zadanie 4 z I etapu Polskiej Olimpiady Matematycznej 1992/1993.
Wyznaczyć wszystkie funkcje \(f \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R}\) spełniające dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\).

Rozwiązanie.
Określmy formułę


Mamy teraz kolejno: dzięki czemu co oznacza, iż funkcja \(f\) jest parzysta. Następnie
oraz
Dzięki wykazanej parzystości funkcji \(f\) mamy \(f(x)f(-x) = \bigl(f(x)\bigr)^{2}\), co oznacza, iż Wobec dowolności wyboru liczby \(x\) uzyskujemy wreszcie


Bezpośrednim sprawdzeniem wykazujemy, iż jest to istotnie rozwiązanie.

Jeszcze jeden typowy przykład:

Problem
Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f}\) określona na zbiorze liczb całkowitych dodatnich i o wartościach w tym zbiorze taka, że \(\displaystyle{ f(f(x)) = 7x}\) dla \(\displaystyle{ x=1, 2, 3,....}\)

Rozwiązanie:
Taką \(\displaystyle{ f}\) można określić :
\(\displaystyle{ f(x ) = \begin{cases} \frac{1}{3} x &\text{gdy }x \in T_3 \\ 21x &\text{gdy } x \notin T_3 \end{cases} }\)
gdzie \(\displaystyle{ T_3}\) to zbiór tych liczb, które mają w rozkładzie na czynniki pierwsze składnik \(\displaystyle{ p=3}\) w nieparzystej potędze.
( a więc \(\displaystyle{ f}\) jest poprawnie określona ).

Jeśli \(\displaystyle{ x \in T_3}\), to \(\displaystyle{ f( f(x)) = f( \frac{1}{3} x) = 21 \cdot \frac{1}{3} x = 7x.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x \notin T_3}\), to \(\displaystyle{ f( f(x)) = f( 21 x) = \frac{1}{3} \cdot (21x) = 7x.}\)
■


Zadania
1. Czy \(\displaystyle{ f}\) z powyższego przekładu można przedłużyć na większą dziedzinę (np. \(\displaystyle{ \RR}\)) ?
2. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) takie, że
\(\displaystyle{ f(x) < x}\)
\(\displaystyle{ f(x+y) < f(x)+ f(y)}\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)
3. Rozwiązać \(\displaystyle{ W(\sin(x) = \sin(W(x))}\) dla wielomianów \(\displaystyle{ W.}\)

(formalnie: w zadaniu drugim jest nierówność funkcyjna).