Promień zbieżności
Będziemy korzystać z dwóch wzorów:\(\displaystyle{ (1) \\ R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}.}\)
\(\displaystyle{ (2) \\ R=\frac{1} {\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1} \over a_n}\right|}.}\)
Ogólna rada:
Gdy jest silnia to korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (2)}\). Gdy są potęgi to wzór \(\displaystyle{ (1)}\)
Przykład 1
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x ^{n} \cdot 3^{n}}\)
\(\displaystyle{ a _{n}= 3^{n}}\)
Skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (1)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{3^{n}} = \lim_{n \to \infty } 3= 3}\)
Zatem :
\(\displaystyle{ R= \frac{1}{3}}\)
Zatem dla :
\(\displaystyle{ x \in (- \frac{1}{3} , \frac{1}{3})}\)
Ten szereg jest zbieżny.
Na krańcach sprawdzamy zbieżność, gdy jesteśmy proszeni o podanie przedziału zbieżności
Przykład 2
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x ^{n} \cdot n!}\)
\(\displaystyle{ a _{n}= n!}\)
\(\displaystyle{ a _{n+1}= (n+1)!}\)
Skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (2)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ (n+1)!}{ (n )!}= \lim_{n \to \infty } \frac{ (n )! \cdot (n+1) }{ (n )!}= \lim_{n \to \infty } (n+1) = + \infty}\)
Zatem \(\displaystyle{ R=0}\)
Tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\) ten szereg jest zbieżny
Przykład 3
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x ^{n} \cdot n}\)
\(\displaystyle{ a _{n}= n}\)
Skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (1)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{n} =1}\)
\(\displaystyle{ R= 1}\)
Przykład 4
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x ^{n} \cdot \frac{1}{n! }}\)
\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{n! }}\)
\(\displaystyle{ a _{n+1}= \frac{1}{(n+1)! }}\)
Skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (2)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{n! }{(n+1)!} =\lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n+1}=0}\)
\(\displaystyle{ R= + \infty}\)
Czyli dla \(\displaystyle{ x \in R}\) szereg jest zbieżny.
Przykład 5
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (x+1) ^{n} \cdot n ^{2} = \sum_{n=1}^{ \infty } (t) ^{n} \cdot n ^{2}}\)
\(\displaystyle{ t=x+1}\)
\(\displaystyle{ a _{n}= n ^{2}}\)
Skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (1)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ n ^{2} }= \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ n } \cdot \sqrt[n]{ n }=1 \cdot 1=1}\)
\(\displaystyle{ t \in (-1,1)}\)
\(\displaystyle{ -1< t<1}\)
\(\displaystyle{ -1< x+1<1}\)
\(\displaystyle{ -1-1< x <1-1}\)
\(\displaystyle{ -2< x <0}\)
Czyli dla tego przedziału szereg jest zbieżny
cdn
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW
Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )