Obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji złożonych

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
Lbubsazob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4672
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji złożonych

Post autor: Lbubsazob »

OBLICZANIE POCHODNYCH CZĄSTKOWYCH FUNKCJI ZŁOŻONYCH
Jeśli \(\displaystyle{ F(t)=f\left( x(t),y(t)\right)}\), to \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}F}{ \mbox{d}t}= \frac{ \partial f}{ \partial x} \cdot \frac{ \mbox{d} x}{ \mbox{d} t}+ \frac{ \partial f}{ \partial y} \cdot \frac{ \mbox{d} y}{ \mbox{d} t}}\).

Jeśli \(\displaystyle{ F(u,v)=f\left( x(u,v),y(u,v)\right)}\), to \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial u}= \frac{ \partial f}{ \partial x} \cdot \frac{ \partial x}{ \partial u} + \frac{ \partial f}{ \partial y} \cdot \frac{ \partial y}{ \partial u}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial v}= \frac{ \partial f}{ \partial x} \cdot \frac{ \partial x}{ \partial v} + \frac{ \partial f}{ \partial y} \cdot \frac{ \partial y}{ \partial v}}\).

Dla funkcji 3 zmiennych zachodzą analogiczne wzory:
Jeśli \(\displaystyle{ F(t)=f\left( x(t),y(t),z(t)\right)}\), to \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}F}{ \mbox{d}t}= \frac{ \partial f}{ \partial x} \cdot \frac{ \mbox{d} x}{ \mbox{d} t}+ \frac{ \partial f}{ \partial y} \cdot \frac{ \mbox{d} y}{ \mbox{d} t}+ \frac{ \partial f}{ \partial z} \cdot \frac{ \mbox{d}z}{ \mbox{d}t}}\).

Jeśli \(\displaystyle{ F(u,v)=f\left( x(u,v),y(u,v),z(u,v)\right)}\), to
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial u}= \frac{ \partial f}{ \partial x} \cdot \frac{ \partial x}{ \partial u} + \frac{ \partial f}{ \partial y} \cdot \frac{ \partial y}{ \partial u}+ \frac{ \partial f}{ \partial z}\cdot\frac{ \partial z}{ \partial u}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial v}= \frac{ \partial f}{ \partial x} \cdot \frac{ \partial x}{ \partial v} + \frac{ \partial f}{ \partial y} \cdot \frac{ \partial y}{ \partial v}+ \frac{ \partial f}{ \partial z} \cdot \frac{ \partial z}{ \partial v}}\).


Przykład 1
Oblicz pochodną funkcji \(\displaystyle{ F=f(x,y)}\), gdzie \(\displaystyle{ x=\ln t, \ y=e^t}\).
Rozwiązanie:    
Przykład 2
Oblicz pochodną funkcji \(\displaystyle{ F=f(x,y,z)=e^{xy+z}}\), gdzie \(\displaystyle{ x=\sin t, \ y=\cos t, \ z=\tg t}\).
Rozwiązanie:    
Przykład 3
Oblicz pochodne cząstkowe funkcji \(\displaystyle{ F=f(x,y)}\) względem \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\), gdzie \(\displaystyle{ x=u\cos v, \ y=u\sin v}\).
Rozwiązanie:    
Przykład 4
Oblicz pochodne cząstkowe funkcji \(\displaystyle{ F=f(x,y)=e^{xy} \frac{x}{y}}\) względem \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\), gdzie \(\displaystyle{ x=\ln \sqrt{u^2+v^2}, \ y=\arc\tg \frac{v}{u}}\).
Rozwiązanie:    
Przykład 5
Pokaż, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ \psi:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest różniczkowalna, to funkcja \(\displaystyle{ z=y\psi \left( x^2-y^2\right)}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{x} \frac{ \partial z}{ \partial x}+ \frac{1}{y} \frac{ \partial z}{ \partial y}= \frac{z}{y^2}}\).
Rozwiązanie:    
Przykład 6
Funkcja \(\displaystyle{ F}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2F}{ \partial
x^2}+ \frac{ \partial ^2F}{ \partial y^2}=0}\)
. Pokaż, że funkcja \(\displaystyle{ f(u,v)=F\left( \frac{u}{u^2+v^2}, \frac{v}{u^2+v^2} \right)}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^2f}{ \partial u^2}+ \frac{\partial ^2f}{ \partial v^2}=0}\).
Rozwiązanie:    
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW.
ODPOWIEDZ