Matematyka.pl

Znajdź błąd w obliczeniach i zaproponuj jak go poprawić

Przyjmijmy że \(\displaystyle{ y=\cos{\left( n\arccos{x}\right) }}\)
jest całką pewnego równania różniczkowego

Niech \(\displaystyle{ x=\cos{t}}\) , mamy wówczas

\(\displaystyle{ y=\cos{\left( nt\right) }\\
y'=-n\sin{\left( nt\right) }\\
y''=-n^2\cos{\left( nt\right) }\\
y''=-n^2y\\
y'' + n^2y=0\\
}\)

Zastosujmy teraz zamianę zmiennej niezależnej

\(\displaystyle{
x=\cos{t}\\
\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}=-\sin{t}\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}= \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}= \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot \left( -1 \cdot \left(\pm\sqrt{1-x^2}\right)\right)\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}=\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot\left( \mp\sqrt{1-x^2}\right) \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left( \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \right) \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t} \right) \cdot \frac{ \mbox{d}x}{\mbox{d}t} \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot \mp\sqrt{1-x^2} \right) \cdot \left( \mp\sqrt{1-x^2}\right) \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}= \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \cdot \sqrt{1-x^2} \right) \cdot \sqrt{1-x^2} \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} = \sqrt{1-x^2} \left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} \cdot \sqrt{1-x^2}-\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \right) \\
\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} = \left( 1-x^2\right) \cdot \frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} - x \cdot \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \\

}\)

Zatem po zamianie zmiennej niezależnej dostajemy

\(\displaystyle{ \left( 1-x^2\right) \cdot \frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} - x \cdot \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} + n^2y=0}\)

Rozwiążny to równanie wstawiając szereg potęgowy

\(\displaystyle{ \left( 1-x^2\right) \cdot \frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} - x \cdot \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} + n^2y=0\\
y\left( x\right) = \sum_{k=0}^{ \infty }a_{k}x^{k} \\
y'\left( x\right) = \sum_{k=0}^{ \infty }ka_{k}x^{k-1} \\
y''\left( x\right) = \sum_{k=0}^{ \infty }k\left( k-1\right) a_{k}x^{k-2} \\
\left( 1-x^2\right)\left(\sum_{k=0}^{ \infty }k\left( k-1\right) a_{k}x^{k-2} \right) - x\left(\sum_{k=0}^{ \infty }ka_{k}x^{k-1} \right)+n^2\left(\sum_{k=0}^{ \infty }a_{k}x^{k} \right) =0\\
\sum_{k=0}^{ \infty }k\left( k-1\right) a_{k}x^{k-2} - x^2\left(\sum_{k=0}^{ \infty }k\left( k-1\right) a_{k}x^{k-2} \right) - x\left(\sum_{k=0}^{ \infty }ka_{k}x^{k-1} \right)+n^2\left(\sum_{k=0}^{ \infty }a_{k}x^{k} \right) =0\\
\sum_{k=0}^{ \infty }k\left( k-1\right) a_{k}x^{k-2} - \left(\sum_{k=0}^{ \infty }k\left( k-1\right) a_{k}x^{k} \right) - \left(\sum_{k=0}^{ \infty }ka_{k}x^{k} \right)+\left(\sum_{k=0}^{ \infty }n^2a_{k}x^{k} \right)=0\\
\sum_{k=0}^{ \infty }k\left( k-1\right) a_{k}x^{k-2} - \left(\sum_{k=0}^{ \infty }{\left( k\left( k-1\right) a_{k}x^{k} + ka_{k}x^{k} - n^2a_{k}x^{k}\right) } \right) =0\\
\sum_{k=0}^{ \infty }k\left( k-1\right) a_{k}x^{k-2} - \left(\sum_{k=0}^{ \infty }{\left( \left(k\left( k-1\right)+k - n^2 \right)a_{k}x^{k} \right) } \right) =0\\
\sum_{k=0}^{ \infty }k\left( k-1\right) a_{k}x^{k-2} - \left( \sum_{k=0}^{n}\left( k^2-n^2\right)a_{k}x^2 \right) =0\\
\sum_{k=2}^{ \infty }k\left( k-1\right) a_{k}x^{k-2} - \left( \sum_{k=0}^{n}\left( k-n\right)\left( k+n\right) a_{k}x^2 \right) =0\\
\sum_{k=0}^{ \infty }\left( k+2\right) \left( k+1\right) a_{k+2}x^{k} - \left( \sum_{k=0}^{n}\left( k-n\right)\left( k+n\right) a_{k}x^k \right) =0\\
\sum_{k=0}^{ \infty }{\left( \left( k+2\right) \left( k+1\right) a_{k+2}x^{k} - \left( k-n\right)\left( k+n\right) a_{k}x^k\right) } =0\\
\sum_{k=0}^{ \infty }{\left( \left( k+2\right) \left( k+1\right) a_{k+2} - \left( k-n\right)\left( k+n\right) a_{k}\right)x^{k}} =0\\
\left( k+2\right) \left( k+1\right) a_{k+2} - \left( k-n\right)\left( k+n\right) a_{k} =0\\
}\)

Teraz mamy dwie możliwości
albo wyznaczyć \(\displaystyle{ a_{k+2}}\) w zależności od \(\displaystyle{ a_{k}}\)
albo wyznaczyć \(\displaystyle{ a_{k}}\) w zależności od \(\displaystyle{ a_{k+2}}\)

Wybierzmy tę drugą możliwość

\(\displaystyle{
\left( k+2\right) \left( k+1\right) a_{k+2} - \left( k-n\right)\left( k+n\right) a_{k} =0\\
\left( k+2\right) \left( k+1\right) a_{k+2} = \left( k-n\right)\left( k+n\right) a_{k}\\
a_{k} = \frac{\left( k+2\right) \left( k+1\right)}{\left( k-n\right)\left( k+n\right)}a_{k+2}\\
a_{k-2} = \frac{ k \left( k-1\right)}{\left( k-2-n\right)\left( k-2+n\right)}a_{k}\\
a_{k-4} = \frac{\left( k-2\right)\left( k-3\right)k\left( k-1\right) }{\left( k-4 -n\right)\left( k-4+n\right)\left( k-2-n\right)\left( k-2+n\right)}a_{k}\\
a_{k-6} = \frac{\left( k-4\right)\left( k-5\right) \left( k-2\right)\left( k-3\right)k\left( k-1\right)}{\left( k-6-n\right)\left( k-6+n\right) \left( k-4 -n\right)\left( k-4+n\right)\left( k-2-n\right)\left( k-2+n\right)}a_{k}\\
a_{k-6} = \frac{\left( k-4\right)\left( k-5\right) \left( k-2\right)\left( k-3\right)k\left( k-1\right)\left( k-6\right)! }{\left( k-6\right)! \left( k-6-n\right)\left( k-6+n\right) \left( k-4 -n\right)\left( k-4+n\right)\left( k-2-n\right)\left( k-2+n\right)}a_{k}\\
a_{k-6} = \frac{k!}{\left( k-6\right)! \left( k-6-n\right)\left( k-6+n\right) \left( k-4 -n\right)\left( k-4+n\right)\left( k-2-n\right)\left( k-2+n\right)}a_{k}\\
a_{k - 2m} = \frac{k!}{\left( k-2m\right)!\left( k-2-n\right)\left( k-4-n\right) \cdot _\cdots \cdot\left( k-2m - n\right) \cdot \left( k-2+n\right)\left( k-4+n\right) \cdot _\cdots \cdot\left( k-2m + n\right)} a_{k}\\
}\)

Podstawmy teraz \(\displaystyle{ k = n}\)

\(\displaystyle{
a_{n - 2m} = \frac{n!}{\left( n-2m\right)!\left( -2\right)\left( -4\right) \cdot _\cdots \cdot\left( -2m \right) \cdot \left( 2n-2\right)\left( 2n-4\right) \cdot _\cdots \cdot\left( 2n-2m \right)} a_{n}\\
a_{n - 2m} = \frac{n!}{\left( n-2m\right)! \cdot \left( -1\right)^{m} \cdot 2^{m} \cdot m! \cdot 2^{m} \cdot \left( n-1\right)\left( n-2\right) \cdot _ \cdots \cdot \left( n-m\right) }a_{n}\\
a_{n - 2m} = \frac{n! \cdot n \cdot \left( n-m-1\right)!}{\left( n-2m\right)! \cdot \left( -1\right)^{m} \cdot 2^{2m} \cdot m! \cdot \left( n-1\right)\left( n-2\right) \cdot _ \cdots \cdot \left( n-m\right) \cdot n \cdot \left( n-m-1\right)! }a_{n}\\
a_{n - 2m} = \frac{n! \cdot \left( -1\right)^{m} \cdot n \cdot \left( n-m-1\right)!}{2^{2m} \cdot m! \cdot \left( n-2m\right)! \cdot n!}a_{n} \\
a_{n - 2m} = \frac{\left( -1\right)^{m} \cdot n \cdot \left( n-m-1\right)!}{2^{2m} \cdot m! \cdot \left( n-2m\right)!} a_{n}\\
}\)

\(\displaystyle{
y\left( x\right) =a_{n} \cdot \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\frac{\left( -1\right)^{m} \cdot n \cdot \left( n-m-1\right)!}{2^{2m}m!\left( n-2m\right)!}x^{n-2m} \right) \\
y\left( x\right) =a_{n} \cdot \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\frac{\left( -1\right)^{m} \cdot 2^{n-2m} \cdot n \cdot \left( n-m-1\right)!}{2^{n}m!\left( n-2m\right)!}x^{n-2m} \right)\\
y\left( x\right) =a_{n} \cdot \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\frac{\left( -1\right)^{m} \cdot n \cdot \left( n-m-1\right)!}{2^{n} \cdot m!\cdot \left( n-2m\right)!}\left( 2x\right) ^{n-2m} \right)\\
y\left( x\right) =a_{n} \cdot \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\frac{\left( -1\right)^{m} \cdot n \cdot \left( n-m\right)!}{2^{n} \cdot m!\cdot\left( n-m\right) \cdot \left( n-2m\right)!}\left( 2x\right) ^{n-2m} \right)\\
y\left( x\right) =a_{n} \cdot \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\frac{\left( -1\right)^{m} \cdot n \cdot \left( n-m\right)!}{2^{n} \cdot m!\cdot\left( n-m\right) \cdot \left( n-m - m\right)!}\left( 2x\right) ^{n-2m} \right)\\
y\left( x\right) =a_{n} \cdot \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\frac{\left( -1\right)^{m} \cdot n}{2^{n} \cdot \left( n-m\right) } \cdot {n - m \choose m} \left( 2x\right) ^{n-2m} \right)\\
}\)

Teraz wiedząc że \(\displaystyle{ y\left( x\right)=\cos{\left( n \cdot \arccos{x}\right) } }\)
wystarczy ustalić warunki początkowe i wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ a_{n}}\)

Powyższy wzór można znaleźć w tablicach bądź wikipediach

Problem w tym że on jest błędny już dla \(\displaystyle{ n=0}\)

Ciekawy jestem gdzie jest błąd ?
Może podczas zwijania tego iloczynu do silni a następnie do dwumianu Newtona
pojawi się gdzieś dzielenie przez zero bądź silnia z liczby ujemnej ?

Wydaje mi się, że sztuczki z z tymi sumami i zmianami granic sumowania to n to k tam coś szwankuje...

Mariusz M pisze: ↑10 lis 2023, o 19:25 Znajdź błąd w obliczeniach i zaproponuj jak go poprawić


Wybierzmy tę drugą możliwość

\(\displaystyle{
\left( k+2\right) \left( k+1\right) a_{k+2} - \left( k-n\right)\left( k+n\right) a_{k} =0\\
\left( k+2\right) \left( k+1\right) a_{k+2} = \left( k-n\right)\left( k+n\right) a_{k}\\
\red{a_{k} = \frac{\left( k+2\right) \left( k+1\right)}{\left( k-n\right)\left( k+n\right)}a_{k+2}}\\
a_{k-2} = \frac{ k \left( k-1\right)}{\left( k-2-n\right)\left( k-2+n\right)}a_{k}\\
a_{k-4} = \frac{\left( k-2\right)\left( k-3\right)k\left( k-1\right) }{\left( k-4 -n\right)\left( k-4+n\right)\left( k-2-n\right)\left( k-2+n\right)}a_{k}\\
a_{k-6} = \frac{\left( k-4\right)\left( k-5\right) \left( k-2\right)\left( k-3\right)k\left( k-1\right)}{\left( k-6-n\right)\left( k-6+n\right) \left( k-4 -n\right)\left( k-4+n\right)\left( k-2-n\right)\left( k-2+n\right)}a_{k}\\
a_{k-6} = \frac{\left( k-4\right)\left( k-5\right) \left( k-2\right)\left( k-3\right)k\left( k-1\right)\left( k-6\right)! }{\left( k-6\right)! \left( k-6-n\right)\left( k-6+n\right) \left( k-4 -n\right)\left( k-4+n\right)\left( k-2-n\right)\left( k-2+n\right)}a_{k}\\
a_{k-6} = \frac{k!}{\left( k-6\right)! \left( k-6-n\right)\left( k-6+n\right) \left( k-4 -n\right)\left( k-4+n\right)\left( k-2-n\right)\left( k-2+n\right)}a_{k}\\
a_{k - 2m} = \frac{k!}{\left( k-2m\right)!\left( k-2-n\right)\left( k-4-n\right) \cdot _\cdots \cdot\left( k-2m - n\right) \cdot \left( k-2+n\right)\left( k-4+n\right) \cdot _\cdots \cdot\left( k-2m + n\right)} a_{k}\\
}\)

Podstawmy teraz \(\displaystyle{ k = n}\)

Ryzykownie podstawia się `k=n` w czerwonym wzorku

Gdybyśmy podstawili za \(\displaystyle{ k=n}\) akurat w tym miejscu zaznaczonym na czerwono to dostalibyśmy dzielenie przez 0
ale gdybyśmy wstawili k = n już po wprowadzeniu tego indeksu m ?
Po tym przejściu zaznaczonym na czerwono przesunąłem indeksy \(\displaystyle{ k := k - 2}\)
I jaka byłaby propozycja poprawy tego błędu ?