Bardzo proszę o pomoc jak rozwiązać to zadanie
W jaki sposób powinno wyglądać równanie charakterystyczne?
Wyznaczyć funkcję \(\displaystyle{ x= x(t)}\) spełniającą równanie
\(\displaystyle{ txx'=x^2+2t^2}\)
oraz warunek początkowy \(\displaystyle{ x(1)=1}\)
wyznaczyć funkcję x=x(t)
wyznaczyć funkcję x=x(t)
Ostatnio zmieniony 18 sty 2023, o 20:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: wyznaczyć funkcję x=x(t)
Hint: \(\displaystyle{ x'= \frac{x}{t}+2 \times \frac{t}{x} }\).
Ukryta treść:
Re: wyznaczyć funkcję x=x(t)
kurczę nie wiem czy dobrze rozumiem, jeśli wyznacza \(\displaystyle{ x'}\) to powinnam z tego policzyć druga pochodna? bo rozumiem ze do rozwiązania zadania potrzebuje równania charakterystycznego \(\displaystyle{ x''+x'+x=0}\) tak?
Ostatnio zmieniony 18 sty 2023, o 20:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: wyznaczyć funkcję x=x(t)
Po pierwsze zacznij pisać w \(\displaystyle{ \LaTeX}\) bo Twoje tematy zaczną lądować w koszu i mi też się oberwie bo w ogóle nie powianiem na nie odpisywać. Poza tym nie wiem o czym mówisz. Nie wiem jak to się ma do równań charakterystycznych. W sumie nie wiem już nawet o jakim równaniu mówimy.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: wyznaczyć funkcję x=x(t)
\(\displaystyle{ txx'=x^2+2t^2}\)
oraz warunek początkowy \(\displaystyle{ x(1)=1}\)
\(\displaystyle{ t2xx'=2x^2+4t^2\\
u=x^2\\
tu'=2u+4t^2\\
tu'-2u=4t^2\\
}\)
I tutaj by się ładnie przewidywało gdyby nie to \(\displaystyle{ t}\) będące współczynnikiem przy \(\displaystyle{ u'}\)
ale zadziała uzmiennianie stałej
\(\displaystyle{
tu'-2u=4t^2\\
tu'-2u=0\\
tu'=2u\\
\frac{u'}{u} = \frac{2}{t}\\
\ln{\left| u\right| } = 2\ln{\left| t\right| }+C_{1}
\left| u\right| = e^{C_{1}}t^{2}\\
u = C_{2}t^{2}\\
u_{j} = Ct^2
u\left( t\right) = C\left( t\right)t^2\\
t\left(C'\left( t\right)t^2+2tC\left( t\right) \right) -2C\left( t\right)t^2=4t^2\\
C'\left( t\right)t^3 + 2t^2C\left( t\right) - 2C\left( t\right)t^2 = 4t^2\\
C'\left( t\right)t^3 = 4t^2\\
C'\left( t\right) = \frac{4}{t}\\
C\left( t\right) = 4\ln{\left| t\right| }\\
u_{s} = 4\ln{\left| t\right| } \cdot t^2\\
u\left( t\right) = 4\ln{\left| t\right| } \cdot t^2 + Ct^2\\
x^2\left( t\right) = 4\ln{\left| t\right| } \cdot t^2+ Ct^2\\
}\)
Mamy rozwiązanie ogólne
Wyznaczmy teraz stałą całkowania z warunku początkowego
\(\displaystyle{ 1=4 \cdot 0+C \cdot 1\\C=1}\)
Mamy zatem rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ x^2\left( t\right) =t^2\left( 4\ln{\left| t\right| } + 1 \right) }\)
oraz warunek początkowy \(\displaystyle{ x(1)=1}\)
\(\displaystyle{ t2xx'=2x^2+4t^2\\
u=x^2\\
tu'=2u+4t^2\\
tu'-2u=4t^2\\
}\)
I tutaj by się ładnie przewidywało gdyby nie to \(\displaystyle{ t}\) będące współczynnikiem przy \(\displaystyle{ u'}\)
ale zadziała uzmiennianie stałej
\(\displaystyle{
tu'-2u=4t^2\\
tu'-2u=0\\
tu'=2u\\
\frac{u'}{u} = \frac{2}{t}\\
\ln{\left| u\right| } = 2\ln{\left| t\right| }+C_{1}
\left| u\right| = e^{C_{1}}t^{2}\\
u = C_{2}t^{2}\\
u_{j} = Ct^2
u\left( t\right) = C\left( t\right)t^2\\
t\left(C'\left( t\right)t^2+2tC\left( t\right) \right) -2C\left( t\right)t^2=4t^2\\
C'\left( t\right)t^3 + 2t^2C\left( t\right) - 2C\left( t\right)t^2 = 4t^2\\
C'\left( t\right)t^3 = 4t^2\\
C'\left( t\right) = \frac{4}{t}\\
C\left( t\right) = 4\ln{\left| t\right| }\\
u_{s} = 4\ln{\left| t\right| } \cdot t^2\\
u\left( t\right) = 4\ln{\left| t\right| } \cdot t^2 + Ct^2\\
x^2\left( t\right) = 4\ln{\left| t\right| } \cdot t^2+ Ct^2\\
}\)
Mamy rozwiązanie ogólne
Wyznaczmy teraz stałą całkowania z warunku początkowego
\(\displaystyle{ 1=4 \cdot 0+C \cdot 1\\C=1}\)
Mamy zatem rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ x^2\left( t\right) =t^2\left( 4\ln{\left| t\right| } + 1 \right) }\)