Matematyka.pl

Bardzo proszę o pomoc jak rozwiązać to zadanie
W jaki sposób powinno wyglądać równanie charakterystyczne?

Wyznaczyć funkcję \(\displaystyle{ x= x(t)}\) spełniającą równanie

\(\displaystyle{ txx'=x^2+2t^2}\)
oraz warunek początkowy \(\displaystyle{ x(1)=1}\)

Hint: \(\displaystyle{ x'= \frac{x}{t}+2 \times \frac{t}{x} }\).

kurczę nie wiem czy dobrze rozumiem, jeśli wyznacza \(\displaystyle{ x'}\) to powinnam z tego policzyć druga pochodna? bo rozumiem ze do rozwiązania zadania potrzebuje równania charakterystycznego \(\displaystyle{ x''+x'+x=0}\) tak?

Po pierwsze zacznij pisać w \(\displaystyle{ \LaTeX}\) bo Twoje tematy zaczną lądować w koszu i mi też się oberwie bo w ogóle nie powianiem na nie odpisywać. Poza tym nie wiem o czym mówisz. Nie wiem jak to się ma do równań charakterystycznych. W sumie nie wiem już nawet o jakim równaniu mówimy.

Janusz masz racje że to jest równanie jednorodne choć ja na pierwszy rzut oka widziałem równanie Bernoulliego

A postawienie `z=x^2` daje równanie liniowe

\(\displaystyle{ txx'=x^2+2t^2}\)
oraz warunek początkowy \(\displaystyle{ x(1)=1}\)


\(\displaystyle{ t2xx'=2x^2+4t^2\\
u=x^2\\
tu'=2u+4t^2\\
tu'-2u=4t^2\\
}\)

I tutaj by się ładnie przewidywało gdyby nie to \(\displaystyle{ t}\) będące współczynnikiem przy \(\displaystyle{ u'}\)
ale zadziała uzmiennianie stałej
\(\displaystyle{
tu'-2u=4t^2\\
tu'-2u=0\\
tu'=2u\\
\frac{u'}{u} = \frac{2}{t}\\
\ln{\left| u\right| } = 2\ln{\left| t\right| }+C_{1}
\left| u\right| = e^{C_{1}}t^{2}\\
u = C_{2}t^{2}\\
u_{j} = Ct^2
u\left( t\right) = C\left( t\right)t^2\\
t\left(C'\left( t\right)t^2+2tC\left( t\right) \right) -2C\left( t\right)t^2=4t^2\\
C'\left( t\right)t^3 + 2t^2C\left( t\right) - 2C\left( t\right)t^2 = 4t^2\\
C'\left( t\right)t^3 = 4t^2\\
C'\left( t\right) = \frac{4}{t}\\
C\left( t\right) = 4\ln{\left| t\right| }\\
u_{s} = 4\ln{\left| t\right| } \cdot t^2\\
u\left( t\right) = 4\ln{\left| t\right| } \cdot t^2 + Ct^2\\
x^2\left( t\right) = 4\ln{\left| t\right| } \cdot t^2+ Ct^2\\
}\)

Mamy rozwiązanie ogólne
Wyznaczmy teraz stałą całkowania z warunku początkowego

\(\displaystyle{ 1=4 \cdot 0+C \cdot 1\\C=1}\)

Mamy zatem rozwiązanie równania

\(\displaystyle{ x^2\left( t\right) =t^2\left( 4\ln{\left| t\right| } + 1 \right) }\)