Matematyka.pl

Weźmy jakąś funkcję \(\displaystyle{ y = f(x).}\)
Należy znaleźć dwie funkcje parametryczne \(\displaystyle{ x = f_x(u)}\) oraz \(\displaystyle{ y = f_y(u)}\) z własnością taką że \(\displaystyle{ u}\) przyrasta równomiernie na krzywej iezależnie od jej nachylenia.
Coś próbowałem z sage, definite_integral chciał granice całkowania.
Jak to można rozwiązać z sage?
Można by przetestować dla funkcji \(\displaystyle{ y=x^2}\), choć może udało by się to zrobić symbolicznie dla ciekawszych funkcji , o które mi chodzi.

Borneq pisze: ↑4 lut 2024, o 11:42z własnością taką że \(\displaystyle{ u}\) przyrasta równomiernie na krzywej iezależnie od jej nachylenia.

Co to znaczy?

Jeśli chodzi o to, by punkt \(\displaystyle{ (f_x(u), f_y(u))}\) przebiegał wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) z prędkością stale równą jeden (względem rosnącego \(\displaystyle{ u}\)), to nazywa się to parametryzacją łukową. Opisują ją wzory

\(\displaystyle{ \begin{cases}
f_x(u) = s^{-1}(u), \\[1ex]
f_y(u) = f(f_x(u)),
\end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ s(x) = \int \limits_{x_0}^x \sqrt{1 + f'(t)^2} \, \dd t}\) a \(\displaystyle{ x_0}\) jest dowolnym punktem dziedziny.